Nicómaco de Gerasa vivió en Palestina entre los siglos I y II de nuestra era. Escribió Arithmetike eisagoge (Introducción a la aritmética) que es el primer trabajo en donde se trata la Aritmética de forma separada a la Geometría. En el tratado se encuentra la siguiente proposición: "si se escriben los números impares

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...

entonces el primero es el cubo de 1; la suma de los dos siguientes, el cubo de 2; la suma de los tres siguientes, el cubo de 3; y así sucesivamente."

Definir las siguientes funciones

listasParciales :: [a] -> [[a]]
sumasParciales  :: [Int] -> [Int]

tales que

• (listasParciales xs) es la lista obtenido agrupando los elementos de la lista infinita xs de forma que la primera tiene 0 elementos; la segunda, el primer elemento de xs; la tercera, los dos siguientes; y así sucesivamente. Por ejemplo,

λ> take 7 (listasParciales [1..])
[[],[1],[2,3],[4,5,6],[7,8,9,10],[11,12,13,14,15],[16,17,18,19,20,21]]
λ> take 7 (listasParciales [1,3..])
[[],[1],[3,5],[7,9,11],[13,15,17,19],[21,23,25,27,29],[31,33,35,37,39,41]]

• (sumasParciales xs) es la lista de las sumas parciales de la lista infinita xs. Por ejemplo,

λ> take 15 (sumasParciales [1..])
[0,1,5,15,34,65,111,175,260,369,505,671,870,1105,1379]
λ> take 15 (sumasParciales [1,3..])
[0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728,2197,2744]

Comprobar con QuickChek la propiedad de Nicómaco; es decir, que para todo número natural n, el término n-ésimo de (sumasParciales [1,3..]) es el cubo de n.

Soluciones

import Test.QuickCheck

listasParciales :: [a] -> [[a]]
listasParciales = aux 0
  where aux n xs = ys : aux (n+1) zs
          where (ys,zs) = splitAt n xs

sumasParciales :: [Int] -> [Int]
sumasParciales = map sum . listasParciales

prop_Nicomaco :: (Positive Int) -> Bool
prop_Nicomaco (Positive n) =
  sumasParciales [1,3..] !! n == n^3