Ir al contenido principal

Impares en filas del triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es un triángulo de números

       1
      1 1
     1 2 1
   1  3 3  1
  1 4  6  4 1
 1 5 10 10 5 1
...............

construido de la siguiente forma

  • la primera fila está formada por el número 1;
  • las filas siguientes se construyen sumando los números adyacentes de la fila superior y añadiendo un 1 al principio y al final de la fila.

Definir las funciones

imparesPascal          :: [[Integer]]
nImparesPascal         :: [Int]
grafica_nImparesPascal :: Int -> IO ()

tales que

  • imparesPascal es la lista de los elementos impares en cada una de las filas del triángulo de Pascal. Por ejemplo,
λ> take 8 imparesPascal
[[1],[1,1],[1,1],[1,3,3,1],[1,1],[1,5,5,1],[1,15,15,1],[1,7,21,35,35,21,7,1]]
  • nImparesPascal es la lista del número de elementos impares en cada una de las filas del triángulo de Pascal. Por ejemplo,
λ> take 32 nImparesPascal
[1,2,2,4,2,4,4,8,2,4,4,8,4,8,8,16,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32]
λ> maximum (take (10^6) nImparesPascal3)
524288
  • (grafica_nImparesPascal n) dibuja la gráfica de los n primeros términos de nImparesPascal. Por ejemplo, (grafica_nImparesPascal 50) dibuja

Impares en filas del triángulo de Pascal

y (grafica_nImparesPascal 100) dibuja

Impares en filas del triángulo de Pascal

Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de nImparesPascal son potencias de dos.

Soluciones

import Data.List (transpose)
import Test.QuickCheck
import Graphics.Gnuplot.Simple

-- Definición de imparesPascal
-- ===========================

imparesPascal :: [[Integer]]
imparesPascal =
  map (filter odd) pascal

-- pascal es la lista de las filas del triángulo de Pascal. Por ejemplo,
--    λ> take 7 pascal
--    [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1],[1,5,10,10,5,1],[1,6,15,20,15,6,1]]
pascal :: [[Integer]]
pascal = [1] : map f pascal
  where f xs = zipWith (+) (0:xs) (xs++[0])

-- 1ª definición de nImparesPascal
-- ===============================

nImparesPascal :: [Int]
nImparesPascal =
  map length imparesPascal

-- 2ª definición de nImparesPascal
-- ===============================

nImparesPascal2 :: [Int]
nImparesPascal2 =
  map (length . filter odd) imparesPascal

-- 3ª definición de nImparesPascal
-- ===============================

--    λ> take 32 nImparesPascal2
--    [1,2,
--     2,4,
--     2,4,4,8,
--     2,4,4,8,4,8,8,16,
--     2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32]
nImparesPascal3 :: [Int]
nImparesPascal3 = 1 : zs
  where zs = 2 : concat (transpose [zs, map (*2) zs])

-- Definición de grafica_nImparesPascal
-- =========================================

grafica_nImparesPascal :: Int -> IO ()
grafica_nImparesPascal n =
  plotListStyle
    [ Key Nothing
    , PNG ("Impares_en_filas_del_triangulo_de_Pascal_" ++ show n ++ ".png")
    ]
    (defaultStyle {plotType = LinesPoints})
    (take n nImparesPascal3)

-- Propiedad de nImparesPascal
-- ===========================

-- La propiedad es
prop_nImparesPascal :: Positive Int -> Bool
prop_nImparesPascal (Positive n) =
  esPotenciaDeDos (nImparesPascal3 !! n)

-- (esPotenciaDeDos n) se verifica si n es una potencia de dos. Por
-- ejemplo,
--    esPotenciaDeDos 16  ==  True
--    esPotenciaDeDos 18  ==  False
esPotenciaDeDos :: Int -> Bool
esPotenciaDeDos 1 = True
esPotenciaDeDos n = even n && esPotenciaDeDos (n `div` 2)

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_nImparesPascal
--    +++ OK, passed 100 tests.