Caminos minimales en un arbol numérico
En la librería Data.Tree se definen los tipos de árboles y bosques como sigue
data Tree a = Node a (Forest a) type Forest a = [Tree a]
Se pueden definir árboles. Por ejemplo,
ej = Node 3 [Node 5 [Node 9 []], Node 7 []]
Y se pueden dibujar con la función drawTree. Por ejemplo,
λ> putStrLn (drawTree (fmap show ej)) 3 | +- 5 | | | `- 9 | `- 7
Los mayores divisores de un número x son los divisores u tales que u > 1 y existe un v tal que 1 < v < u y u.v = x. Por ejemplo, los mayores divisores de 24 son 12, 8 y 6.
El árbol de los predecesores y mayores divisores de un número x es el árbol cuya raíz es x y los sucesores de cada nodo y > 1 es el conjunto formado por y-1 junto con los mayores divisores de y. Los nodos con valor 1 no tienen sucesores. Por ejemplo, el árbol de los predecesores y mayores divisores del número 6 es
6 / \ 5 3 | | 4 2 / \ | 3 2 1 | | 2 1 | 1
Definir las siguientes funciones
mayoresDivisores :: Int -> [Int] arbol :: Int -> Tree Int caminos :: Int -> [[Int]] caminosMinimales :: Int -> [[Int]]
tales que + (mayoresDivisores x) es la lista de los mayores divisores de x. Por ejemplo,
mayoresDivisores 24 == [12,8,6] mayoresDivisores 16 == [8,4] mayoresDivisores 10 == [5] mayoresDivisores 17 == []
- (arbol x) es el árbol de los predecesores y mayores divisores del número x. Por ejemplo,
λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbol 6))) 6 | +- 5 | | | `- 4 | | | +- 3 | | | | | `- 2 | | | | | `- 1 | | | `- 2 | | | `- 1 | `- 3 | `- 2 | `- 1
- (caminos x) es la lista de los caminos en el árbol de los predecesores y mayores divisores del número x. Por ejemplo,
λ> caminos 6 [[6,5,4,3,2,1],[6,5,4,2,1],[6,3,2,1]]
- (caminosMinimales x) es la lista de los caminos en de menor longitud en el árbol de los predecesores y mayores divisores del número x. Por ejemplo,
λ> caminosMinimales 6 [[6,3,2,1]] λ> caminosMinimales 17 [[17,16,4,2,1]] λ> caminosMinimales 50 [[50,25,5,4,2,1],[50,10,9,3,2,1],[50,10,5,4,2,1]]
Soluciones
import Data.Tree import Test.QuickCheck mayoresDivisores :: Int -> [Int] mayoresDivisores x = [max u v | u <- [2..floor (sqrt (fromIntegral x))] , x `mod` u == 0 , let v = x `div` u] arbol :: Int -> Tree Int arbol 1 = Node 1 [] arbol x = Node x (arbol (x-1) : [arbol y | y <- mayoresDivisores x]) caminos :: Int -> [[Int]] caminos = caminosArbol . arbol -- λ> caminosArbol (arbol 6) -- [[6,5,4,3,2,1],[6,5,4,2,1],[6,3,2,1]] caminosArbol :: Tree a -> [[a]] caminosArbol (Node x []) = [[x]] caminosArbol (Node x as) = [x:ys | ys <- caminosBosque as] caminosBosque :: Forest a -> [[a]] caminosBosque = concatMap caminosArbol caminosMinimales :: Int -> [[Int]] caminosMinimales x = [ys | ys <- yss, length ys == m] where yss = caminos x m = minimum (map length yss)