Matriz dodecafónica
Como se explica en Create a Twelve-Tone Melody With a Twelve-Tone Matrix una matriz dodecafónica es una matriz de 12 filas y 12 columnas construidas siguiendo los siguientes pasos:
- Se escribe en la primera fila una permutación de los números del 1 al 12. Por ejemplo,
( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
- Escribir la primera columna de forma que, para todo i (entre 2 y 12), a(i,1) es el número entre 1 y 12 que verifica la siguiente condición
(a(1,1) - a(i,1)) = (a(1,i) - a(1,1)) (módulo 12)
Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz con la 1ª fila y la 1ª columna es
( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 ) ( 5 ) ( 9 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 12 ) ( 10 ) ( 11 ) ( 6 ) ( 8 ) ( 7 ) ( 4 )
- Escribir la segunda fila de forma que, para todo j (entre 2 y 12), a(j,2) es el número entre 1 y 12 que verifica la siguiente condición
(a(2,j) - a(1,j)) = (a(2,1) - a(1,1)) (módulo 12)
Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz con la 1ª fila, 1ª columna y 2ª fila es
( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 ) ( 5 3 11 7 6 8 10 9 2 12 1 4 ) ( 9 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 12 ) ( 10 ) ( 11 ) ( 6 ) ( 8 ) ( 7 ) ( 4 )
- Las restantes filas se completan como la 2ª; es decir, para todo i (entre 3 y 12) y todo j (entre 2 y 12), a(i,j) es el número entre 1 y 12 que verifica la siguiente relación.
(a(i,j) - a(1,j)) = (a(i,1) - a(1,1)) (módulo 12)
Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz dodecafónica es
( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 ) ( 5 3 11 7 6 8 10 9 2 12 1 4 ) ( 9 7 3 11 10 12 2 1 6 4 5 8 ) ( 1 11 7 3 2 4 6 5 10 8 9 12 ) ( 2 12 8 4 3 5 7 6 11 9 10 1 ) ( 12 10 6 2 1 3 5 4 9 7 8 11 ) ( 10 8 4 12 11 1 3 2 7 5 6 9 ) ( 11 9 5 1 12 2 4 3 8 6 7 10 ) ( 6 4 12 8 7 9 11 10 3 1 2 5 ) ( 8 6 2 10 9 11 1 12 5 3 4 7 ) ( 7 5 1 9 8 10 12 11 4 2 3 6 ) ( 4 2 10 6 5 7 9 8 1 11 12 3 )
Definir la función
matrizDodecafonica :: [Int] -> Matrix Int
tal que (matrizDodecafonica xs) es la matriz dodecafónica cuya primera fila es xs (que se supone que es una permutación de los números del 1 al 12). Por ejemplo,
λ> matrizDodecafonica [3,1,9,5,4,6,8,7,12,10,11,2] ( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 ) ( 5 3 11 7 6 8 10 9 2 12 1 4 ) ( 9 7 3 11 10 12 2 1 6 4 5 8 ) ( 1 11 7 3 2 4 6 5 10 8 9 12 ) ( 2 12 8 4 3 5 7 6 11 9 10 1 ) ( 12 10 6 2 1 3 5 4 9 7 8 11 ) ( 10 8 4 12 11 1 3 2 7 5 6 9 ) ( 11 9 5 1 12 2 4 3 8 6 7 10 ) ( 6 4 12 8 7 9 11 10 3 1 2 5 ) ( 8 6 2 10 9 11 1 12 5 3 4 7 ) ( 7 5 1 9 8 10 12 11 4 2 3 6 ) ( 4 2 10 6 5 7 9 8 1 11 12 3 )
Comprobar con QuickCheck para toda matriz dodecafónica D se verifican las siguientes propiedades:
- todas las filas de D son permutaciones de los números 1 a 12,
- todos los elementos de la diagonal de D son iguales y
- la suma de todos los elementos de D es 936.
Soluciones
import Data.List import Test.QuickCheck import Data.Matrix -- 1ª solución -- =========== matrizDodecafonica :: [Int] -> Matrix Int matrizDodecafonica xs = matrix 12 12 f where f (1,j) = xs !! (j-1) f (i,1) = modulo12 (2 * f (1,1) - f (1,i)) f (i,j) = modulo12 (f (1,j) + f (i,1) - f (1,1)) modulo12 0 = 12 modulo12 12 = 12 modulo12 x = x `mod` 12 -- 2ª solución -- =========== matrizDodecafonica2 :: [Int] -> Matrix Int matrizDodecafonica2 xs = fromLists (secuencias xs) secuencias :: [Int] -> [[Int]] secuencias xs = [secuencia a xs | a <- inversa xs] inversa :: [Int] -> [Int] inversa xs = map conv (map (\x -> (-x) + 2* (abs a)) xs) where a = head xs secuencia :: Int -> [Int] -> [Int] secuencia n xs = [conv (a+(n-b)) | a <- xs] where b = head xs conv :: Int -> Int conv n | n == 0 = 12 | n < 0 = conv (n+12) | n > 11 = conv (mod n 12) | otherwise = n -- Propiedades -- =========== -- Las propiedades son prop_dodecafonica :: Int -> Property prop_dodecafonica n = n >= 0 ==> all esPermutacion (toLists d) && all (== d!(1,1)) [d!(i,i) | i <- [2..12]] && sum d == 936 where xss = permutations [1..12] k = n `mod` product [1..12] d = matrizDodecafonica (xss !! k) esPermutacion ys = sort ys == [1..12] -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_dodecafonica -- +++ OK, passed 100 tests.