numeroDivisores :: Integer -> Integer

numeroDivisores 12  ==  6
numeroDivisores 25  ==  3
length (show (numeroDivisores (product [1..3*10^4])))  ==  1948

import Data.List (genericLength, group, inits)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

-- 1ª solución
-- ===========

numeroDivisores :: Integer -> Integer
numeroDivisores =
  genericLength . divisores

-- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,
--    divisores 12  ==  [1,3,2,6,4,12]
--    divisores 25  ==  [1,5,25]
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores = map (product . concat)
            . productoCartesiano
            . map inits
            . group
            . primeFactors

-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos
-- xss. Por ejemplo,
--    λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]]
--    [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]
productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]
productoCartesiano []       = [[]]
productoCartesiano (xs:xss) =
  [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]

-- 2ª solución
-- ===========

numeroDivisores2 :: Integer -> Integer
numeroDivisores2 = genericLength
                 . map (product . concat)
                 . sequence
                 . map inits
                 . group
                 . primeFactors

-- 3ª solución
-- ===========

numeroDivisores3 :: Integer -> Integer
numeroDivisores3 =
  product . map ((+1) . genericLength) . group . primeFactors

-- Comparación de la eficiencia
-- ============================

--    λ> numeroDivisores (product [1..30])
--    2332800
--    (4.19 secs, 4,130,692,448 bytes)
--    λ> numeroDivisores2 (product [1..30])
--    2332800
--    (1.16 secs, 703,167,152 bytes)
--    λ> numeroDivisores3 (product [1..30])
--    2332800
--    (0.01 secs, 165,168 bytes)
--
--    λ> numeroDivisores2 (product [1..34])
--    12165120
--    (6.71 secs, 3,657,624,208 bytes)
--    λ> numeroDivisores3 (product [1..34])
--    12165120
--    (0.01 secs, 173,968 bytes)
--
--    λ> numeroDivisores2 (product [1..35])
--    *** Exception: stack overflow
--    λ> numeroDivisores3 (product [1..35])
--    16422912
--    (0.00 secs, 174,024 bytes)