600 = 2³ * 3 * 5²

factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]

factorizacion 600  ==  [(2,3),(3,1),(5,2)]
length (factorizacion (product [1..3*10^4]))  ==  3245

import Data.List (genericLength, group, inits, nub, sort, subsequences)
import Data.Numbers.Primes (primes, primeFactors)

-- 1ª solución
-- ===========

factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion n =
  [(x,nOcurrencias x xs) | x <- elementos xs]
  where xs = factoresPrimos n

-- (factores primos n) es la lista de los factores primos de n. Por
-- ejemplo,
--   factoresPrimos 600  ==  [2,2,2,3,5,5]
factoresPrimos :: Integer -> [Integer]
factoresPrimos 1 = []
factoresPrimos n = x : factoresPrimos (n `div` x)
  where x = menorFactor n

-- (menorFactor n) es el menor factor primo de n. Por ejemplo,
--   menorFactor 10  ==  2
--   menorFactor 11  ==  11
menorFactor :: Integer -> Integer
menorFactor n = head [x | x <- [2..n], n `mod` x == 0]

-- (elementos xs) es la lista de los elementos, sin repeticiones, de
-- xs. Por ejemplo,
--   elementos [3,2,3,5,2]  ==  [3,2,5]
elementos :: Eq a => [a] -> [a]
elementos [] = []
elementos (x:xs) = x : elementos (filter (/=x) xs)

-- (nOcurrencias x ys) es el número de ocurrencias de x en ys. Por
-- ejemplo,
--   nOcurrencias 'a' "Salamanca"  ==  4
nOcurrencias :: Eq a => a -> [a] -> Integer
nOcurrencias x ys = genericLength (filter (==x) ys)

-- 2ª solución
-- ===========

factorizacion2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion2 n =
  [(head xs,genericLength xs) | xs <- group (primeFactors n)]

-- 3ª solución
-- ===========

factorizacion3 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion3 x =
  map primeroYlongitud (group (primeFactors x))

-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs
-- y la longitud de xs. Por ejemplo,
--    primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)
primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)
primeroYlongitud (x:xs) =
  (x, 1 + genericLength xs)

-- Comparación de eficiencia de sumaDivisores
-- ==========================================

--   λ> length (factorizacion (product [1..10^4]))
--   1229
--   (4.84 secs, 2,583,331,768 bytes)
--   λ> length (factorizacion2 (product [1..10^4]))
--   1229
--   (0.24 secs, 452,543,360 bytes)
--   λ> length (factorizacion3 (product [1..10^4]))
--   1229
--   (0.23 secs, 452,433,504 bytes)
--
--   λ> length (factorizacion (product (take (2*10^3) primes)))
--   2000
--   (6.58 secs, 3,415,098,552 bytes)
--   λ> length (factorizacion2 (product (take (2*10^3) primes)))
--   2000
--   (0.02 secs, 23,060,512 bytes)
--   λ> length (factorizacion3 (product (take (2*10^3) primes)))
--   2000
--   (0.02 secs, 22,882,080 bytes)