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Caminos en una matriz

Los caminos desde el extremo superior izquierdo (posición (1,1)) hasta el extremo inferior derecho (posición (3,4)) en la matriz

(1  6 11  2)
(7 12  3  8)
(3  8  4  9)

moviéndose en cada paso una casilla hacia abajo o hacia la derecha, son los siguientes:

1, 7,  3, 8, 4, 9
1, 7, 12, 8, 4, 9
1, 7, 12, 3, 4, 9
1, 7, 12, 3, 8, 9
1, 6, 12, 8, 4, 9
1, 6, 12, 3, 4, 9
1, 6, 12, 3, 8, 9
1, 6, 11, 3, 4, 9
1, 6, 11, 3, 8, 9
1, 6, 11, 2, 8, 9

Definir la función

   caminos :: Matrix Int -> [[Int]]

tal que (caminos m) es la lista de los caminos en la matriz m desde el extremo superior izquierdo hasta el extremo inferior derecho, moviéndose en cada paso una casilla hacia abajo o hacia la derecha. Por ejemplo,

λ> caminos (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]])
[[1,7, 3,8,4,9],
 [1,7,12,8,4,9],
 [1,7,12,3,4,9],
 [1,7,12,3,8,9],
 [1,6,12,8,4,9],
 [1,6,12,3,4,9],
 [1,6,12,3,8,9],
 [1,6,11,3,4,9],
 [1,6,11,3,8,9],
 [1,6,11,2,8,9]]
λ> length (caminos (fromList 12 13 [1..]))
1352078

Nota: Se recomiend usar programación dinámica.

Soluciones

import Data.Matrix

-- 1ª definición de caminos (por recursión)
-- ----------------------------------------

caminos1 :: Matrix Int -> [[Int]]
caminos1 a = aux (1,1)
  where
    aux (i,j)
      | i == m           = [[a!(i,k) | k <- [j..n]]]
      | j == n           = [[a!(k,j) | k <- [i..m]]]
      | otherwise        = [a!(i,j) : cs | cs <- aux (i+1,j) ++ aux (i,j+1)]
      where m = nrows a
            n = ncols a

-- 2ª solución (mediante programación dinámica)
-- --------------------------------------------

caminos2 :: Matrix Int -> [[Int]]
caminos2 a = q ! (1,1)
  where
    q = matrix m n f
    m = nrows a
    n = ncols a
    f (i,j) | i == m    = [[a!(i,k) | k <- [j..n]]]
            | j == n    = [[a!(k,j) | k <- [i..m]]]
            | otherwise = [a!(i,j) : cs | cs <- q!(i+1,j) ++ q!(i,j+1)]

-- 3ª solución
-- ===========

caminos3 :: Matrix Int -> [[Int]]
caminos3 a
  | m == 1 || n == 1 = [toList a]
  | otherwise = map (a ! (1,1):) (caminos3 (submatrix 2 m 1 n a) ++
                                  caminos3 (submatrix 1 m 2 n a))
  where m = nrows a
        n = ncols a

-- Comparación de eficiencia
-- -------------------------

--    λ> length (caminos1 (fromList 11 11 [1..]))
--    184756
--    (4.15 secs, 738,764,712 bytes)
--    λ> length (caminos2 (fromList 11 11 [1..]))
--    184756
--    (0.74 secs, 115,904,952 bytes)
--    λ> length (caminos3 (fromList 11 11 [1..]))
--    184756
--    (2.22 secs, 614,472,136 bytes)