Raíces digitales de los números de Fermat

José A. Alonso

09-04-2021

Los números de Fermat son los número de la forma F(n) = 2^(2^n) + 1, donde n esun número natural.

Definir la función

   raizDigitalFermat :: Integer -> Integer

tal que (raizDigitalFermat n) es la raíz digital del n-ésimo número de Fermat. Por ejemplo,

   raizDigitalFermat 3          ==  5
   raizDigitalFermat (10^2021)  ==  8

Soluciones

-- 1ª solución
-- ===========

raizDigitalFermat :: Integer -> Integer
raizDigitalFermat =
  raizDigital . fermat

fermat :: Integer -> Integer
fermat k = 1 + 2^(2^k)

-- (raizDigital n) es la raíz digital de n. Por ejemplo,
--    raizDigital 23451  ==  6
raizDigital :: Integer -> Integer
raizDigital n = 1 + (n-1) `mod` 9

-- 2ª solución
-- ===========

-- En el cálculo
--    λ> map raizDigitalFermat [0..20]
--    [3,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8]
-- se observa que se compone del 3 seguido por la repetición periódica
-- de 5 y 8.

raizDigitalFermat2 :: Integer -> Integer
raizDigitalFermat2 0 = 3
raizDigitalFermat2 n
  | odd n     = 5
  | otherwise = 8

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> raizDigitalFermat 30
--    8
--    (6.76 secs, 536,981,128 bytes)
--    λ> raizDigitalFermat2 30
--    8
--    (0.01 secs, 98,400 bytes)