Órbita con raíz entera

José A. Alonso

29-04-2021

El enunciado del problema 2 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1998 es

Sea p un número primo. Determinar todos los enteros k tales que sqrt(k² - k*p) es natural.

Definir las funciones

   orbita        :: Integer -> [Integer]
   orbitaDePrimo :: Integer -> [Integer]

tales que

(orbita n) es la lista de todos los enteros k tales que sqrt(k² - k*n) es natural. Por ejemplo,

     take 4  (orbita 6)   == [0,-2,6,8]
     take 5  (orbita 36)  == [0,-12,36,48,-64]
     take 6  (orbita 9)   == [0,-3,9,12,-16,25]
     take 8  (orbita 27)  == [0,-9,27,36,-48,75,-169,196]
     take 10 (orbita 111) == [0,-37,111,148,-289,400,-972,1083,-3025,3136]

(orbitaDePrimo p) es la lista de todos los enteros k tales que sqrt(k² - k*p) es natural, suponiendo que p es un número primo. Por ejemplo,

     orbitaDePrimo 5                  == [0,-4,5,9]
     orbitaDePrimo (primes !! (10^6)) == [0,15485867,-59953011442489,59953026928356]

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primes)

orbita :: Integer -> [Integer]
orbita n =
  [k | k <- enteros,
       k^2 - k*n >= 0,
       esCuadrado (k^2 - k*n)]

-- entero es la lista de los números enteros. Por ejemplo,
--    λ> take 20 enteros
--    [0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,-5,5,-6,6,-7,7,-8,8,-9,9,-10]
enteros :: [Integer]
enteros = 0 : concat [[-n,n] | n <- [1..]]

-- (esCuadrado x) se verifica si x es un cuadrado perfecto. Por
-- ejemplo,
--    esCuadrado 16  ==  True
--    esCuadrado 27  ==  False
esCuadrado :: Integer -> Bool
esCuadrado x =
  (raizEntera x)^2 == x

-- (raizEntera x) es el mayor entero cuyo cuadrado es menor o igual que
-- x. Por ejemplo,
--    raizEntera 16  ==  4
--    raizEntera 27  ==  5
raizEntera :: Integer -> Integer
raizEntera x = aux (1,x)
    where aux (a,b) | d == x    = c
                    | c == a    = c
                    | d < x     = aux (c,b)
                    | otherwise = aux (a,c)
              where c = (a+b) `div` 2
                    d = c^2

-- 1ª definición de orbitaDePrimo
-- ==============================

orbitaDePrimo1 :: Integer -> [Integer]
orbitaDePrimo1 2 = take 2 (orbita 2)
orbitaDePrimo1 p = take 4 (orbita p)

-- 2ª definición de orbitaDePrimo
-- ==============================

-- Basada en los siguientes cálculos
--    orbitaDePrimo1 2  == [0,2]
--    orbitaDePrimo1 3  == [0,-1,3,4]
--    orbitaDePrimo1 5  == [0,-4,5,9]
--    orbitaDePrimo1 7  == [0, 7,  -9, 16]
--    orbitaDePrimo1 11 == [0,11, -25, 36]
--    orbitaDePrimo1 13 == [0,13, -36, 49]
--    orbitaDePrimo1 17 == [0,17, -64, 81]
--    orbitaDePrimo1 19 == [0,19, -81,100]
--    orbitaDePrimo1 23 == [0,23,-121,144]

orbitaDePrimo2 :: Integer -> [Integer]
orbitaDePrimo2 p
  | p == 2    = [0,2]
  | p <= 5    = [0, -((p-1) `div` 2)^2, p, ((p+1) `div` 2)^2]
  | otherwise = [0, p, -((p-1) `div` 2)^2, ((p+1) `div` 2)^2]

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La comprobación es
--    λ> and [orbitaDePrimo1 n == orbitaDePrimo2 n | n <- take 30 primes]
--    True

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> orbitaDePrimo1 (primes !! 100)
--    [0,547,-74529,75076]
--    (4.94 secs, 4,471,368,256 bytes)
--    λ> orbitaDePrimo2 (primes !! 100)
--    [0,547,-74529,75076]
--    (0.01 secs, 302,096 bytes)