Números divisibles respecto de una sucesión

José A. Alonso

26-05-2021

El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1968 es

Sean a(0), a(1), ..., a(n) (con n ≥ 1) números enteros positivos. Encontrar todos los números enteros y tales que

a(0) | y; (a(0)+a(1)) | (y+a(1)); ... ; (a(0)+a(n)) | (y+a(n)).

donde "x | y" significa que "y es divisible por x".

Se dice que un número y es divisible respecto de la sucesión a(0), a(1), ..., a(n) si verifica la propiedad anterior; es decir,

      a(0) | y; (a(0)+a(1)) | (y+a(1)); ... ; (a(0)+a(n)) | (y+a(n)).

Definir la función

   divisiblesSucesion :: [Integer] -> [Integer]

tal que (divisiblesSucesion xs) es la lista de los números enteros divisibles respecto de xs. Por ejemplo,

   take 6 (divisiblesSucesion [2,5,3])     ==  [2,72,142,212,282,352]
   divisiblesSucesion [3,5..30] !! (10^5)  ==  144144000003
   divisiblesSucesion [3,5..30] !! (10^6)  ==  1441440000003
   divisiblesSucesion [3,5..30] !! (10^7)  ==  14414400000003

Soluciones

import Test.QuickCheck (quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

divisiblesSucesion :: [Integer] -> [Integer]
divisiblesSucesion xs =
  filter (esDivisibleSucesion xs) [1..]

-- (esDivisibleSucesion xs y) se verifica si y es divisible respecto de
-- la sucesión xs. Por ejemplo,
--    esDivisibleSucesion [2,5,3] 72  ==  True
--    esDivisibleSucesion [2,5,3] 12  ==  False
esDivisibleSucesion :: [Integer] -> Integer -> Bool
esDivisibleSucesion [] _      = True
esDivisibleSucesion (a0:as) y =
  y `mod` a0 == 0 &&
  and [(y+a) `mod` (a0+a) == 0 | a <- as]

-- 2ª solución
-- ===========

-- En los siguientes cálculos
--    λ> take 5 (divisiblesSucesion [2,3,5])
--    [2,72,142,212,282]
--    λ> foldl1 lcm [2, 2+3, 2+5]
--    70
--    λ> take 5 (divisiblesSucesion [2,3,5,6])
--    [2,282,562,842,1122]
--    λ> foldl1 lcm [2, 2+3, 2+5, 2+6]
--    280
--    λ> take 5 (divisiblesSucesion [1,3,5,6])
--    [1,85,169,253,337]
--    λ> foldl1 lcm [1, 1+3, 1+5, 1+6]
--    84
-- se observa que los resultados son progresiones aritméticas cuyo
-- primer elemento es a(0) y la diferencia es el mínimo común múltiplo
-- de [a(0), a(0)+a(1), a(0)+a(2), ..., a(0)+a(n)]

divisiblesSucesion2 :: [Integer] -> [Integer]
divisiblesSucesion2 []      = [1..]
divisiblesSucesion2 (a0:as) = [a0,a0+m..]
  where m = mcm (a0 : [a0+a | a <- as])

-- (mcm xs) es el mínimo común múltiplo de xs. Por ejemplo,
--    mcm [2,5,3]  ==  30
--    mcm [2,2+5,2+3]  ==  70
mcm :: [Integer] -> Integer
mcm = foldl1 lcm

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_equivalencia :: [Integer] -> Bool
prop_equivalencia  xs =
  take 3 (divisiblesSucesion ys) == take 3 (divisiblesSucesion2 ys)
  where ys = take 5 [1 + (x `mod` 10) | x <- xs]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_equivalencia
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> divisiblesSucesion [3,5..30] !! 20
--    28828803
--    (16.86 secs, 15,933,990,784 bytes)
--    λ> divisiblesSucesion2 [3,5..30] !! 20
--    28828803
--    (0.01 secs, 112,496 bytes)