Aproximación del número pi
Una forma de aproximar el número π es usando la siguiente igualdad: \[ \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9} + \cdots \]
Es decir, la serie cuyo término general n-ésimo es el cociente entre el producto de los primeros n números y los primeros n números impares: \[ s(n) = \frac{\prod\limits_{i=1}^n i}{\prod\limits_{i=1}^n (2i + 1)} \]
Definir la función
aproximaPi :: Integer -> Double
tal que (aproximaPi n) es la aproximación del número π calculada con la serie anterior hasta el término n-ésimo. Por ejemplo,
aproximaPi 10 == 3.1411060206 aproximaPi 20 == 3.1415922987403397 aproximaPi 30 == 3.1415926533011596 aproximaPi 40 == 3.1415926535895466 aproximaPi 50 == 3.141592653589793 aproximaPi (10^4) == 3.141592653589793 pi == 3.141592653589793
Soluciones
import Data.Ratio ((%)) import Data.List (genericTake) import Test.QuickCheck (Property, arbitrary, forAll, suchThat, quickCheck) -- 1ª solución -- =========== aproximaPi1 :: Integer -> Double aproximaPi1 n = fromRational (2 * sum [product [1..i] % product [1,3..2*i+1] | i <- [0..n]]) -- 2ª solución -- =========== aproximaPi2 :: Integer -> Double aproximaPi2 0 = 2 aproximaPi2 n = aproximaPi2 (n-1) + fromRational (2 * product [1..n] % product [3,5..2*n+1]) -- 3ª solución -- =========== aproximaPi3 :: Integer -> Double aproximaPi3 n = fromRational (2 * (1 + sum (zipWith (%) numeradores (genericTake n denominadores)))) -- numeradores es la sucesión de los numeradores. Por ejemplo, -- λ> take 10 numeradores -- [1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800] numeradores :: [Integer] numeradores = scanl (*) 1 [2..] -- denominadores es la sucesión de los denominadores. Por ejemplo, -- λ> take 10 denominadores -- [3,15,105,945,10395,135135,2027025,34459425,654729075,13749310575] denominadores :: [Integer] denominadores = scanl (*) 3 [5, 7..] -- 4ª solución -- =========== aproximaPi4 :: Integer -> Double aproximaPi4 n = read (x : "." ++ xs) where (x:xs) = show (aproximaPi4' n) aproximaPi4' :: Integer -> Integer aproximaPi4' n = 2 * (p + sum (zipWith div (map (*p) numeradores) (genericTake n denominadores))) where p = 10^n -- Comprobación de equivalencia -- ============================ -- La propiedad es prop_aproximaPi :: Property prop_aproximaPi = forAll (arbitrary `suchThat` (> 3)) $ \n -> all (=~ aproximaPi1 n) [aproximaPi2 n, aproximaPi3 n, aproximaPi4 n] (=~) :: Double -> Double -> Bool x =~ y = abs (x - y) < 0.001 -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_aproximaPi -- +++ OK, passed 100 tests. -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> aproximaPi1 3000 -- 3.141592653589793 -- (4.96 secs, 27,681,824,408 bytes) -- λ> aproximaPi2 3000 -- 3.1415926535897922 -- (3.00 secs, 20,496,194,496 bytes) -- λ> aproximaPi3 3000 -- 3.141592653589793 -- (3.13 secs, 13,439,528,432 bytes) -- λ> aproximaPi4 3000 -- 3.141592653589793 -- (0.09 secs, 23,142,144 bytes)
El código se encuentra en GitHub.