Máxima suma de caminos en un triángulo
Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo
3 7 4 2 4 6 8 5 9 3
se representa por
[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]
Definir la función
maximaSuma :: [[Integer]] -> Integer
tal que (maximaSuma xss) es el máximo de las sumas de los de los caminos en el triángulo xss donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,
maximaSuma [[3],[7,4]] == 10 maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6]] == 14 maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] == 23 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..100]] == 10100 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..1000]] == 1001000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..2000]] == 4002000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..3000]] == 9003000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..4000]] == 16004000
1. Soluciones en Haskell
module Maxima_suma_de_caminos_en_un_triangulo where import Data.List (tails) import Test.Hspec (Spec, describe, hspec, it, shouldBe) -- 1ª solución -- =========== maximaSuma1 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma1 xss = maximum [sum ys | ys <- caminos xss] caminos :: [[Integer]] -> [[Integer]] caminos [] = [[]] caminos [[x]] = [[x]] caminos ([x]:[y1,y2]:zs) = [x:y1:us | (_:us) <- caminos ([y1] : map init zs)] ++ [x:y2:vs | (_:vs) <- caminos ([y2] : map tail zs)] -- 2ª solución -- =========== maximaSuma2 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma2 xss = maximum (map sum (caminos xss)) -- 3ª solución -- =========== maximaSuma3 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma3 = maximum . map sum . caminos -- 4ª solución -- =========== maximaSuma4 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma4 [] = 0 maximaSuma4 [[x]] = x maximaSuma4 ([x]:[y1,y2]:zs) = x + max (maximaSuma4 ([y1] : map init zs)) (maximaSuma4 ([y2] : map tail zs)) -- 5ª solución -- =========== maximaSuma5 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma5 xss = head (foldr1 g xss) where f x y z = x + max y z g xs ys = zipWith3 f xs ys (tail ys) -- 6ª solución -- =========== maximaSuma6 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma6 xss = head (foldr1 aux xss) where aux a b = zipWith (+) a (zipWith max b (tail b)) -- 7ª solución -- =========== maximaSuma7 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma7 xss = head (foldr (flip f) (last xss) (init xss)) where f = zipWith ((+) . maximum . take 2) . tails -- 8ª solución -- =========== maximaSuma8 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma8 = head . foldr1 aux where aux [] _ = [] aux (x:xs) (y0:y1:ys) = x + max y0 y1 : aux xs (y1:ys) -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- Para la comparaciones se usará la siguiente función que construye un -- triángulo de la altura dada. Por ejemplo, -- triangulo 2 == [[0],[1,2]] -- triangulo 3 == [[0],[1,2],[2,3,4]] -- triangulo 4 == [[0],[1,2],[2,3,4],[3,4,5,6]] triangulo :: Integer -> [[Integer]] triangulo n = [[k..k+k] | k <- [0..n-1]] -- La comparación es -- (1.97 secs, 876,483,056 bytes) -- λ> maximaSuma1 (triangulo 19) -- 342 -- (2.37 secs, 1,833,637,824 bytes) -- λ> maximaSuma2 (triangulo 19) -- 342 -- (2.55 secs, 1,804,276,472 bytes) -- λ> maximaSuma3 (triangulo 19) -- 342 -- (2.57 secs, 1,804,275,320 bytes) -- λ> maximaSuma4 (triangulo 19) -- 342 -- (0.28 secs, 245,469,384 bytes) -- λ> maximaSuma5 (triangulo 19) -- 342 -- (0.01 secs, 153,272 bytes) -- λ> maximaSuma6 (triangulo 19) -- 342 -- (0.01 secs, 161,360 bytes) -- λ> maximaSuma7 (triangulo 19) -- 342 -- (0.01 secs, 187,456 bytes) -- λ> maximaSuma8 (triangulo 19) -- 342 -- (0.01 secs, 191,160 bytes) -- -- λ> maximaSuma4 (triangulo 22) -- 462 -- (2.30 secs, 1,963,037,888 bytes) -- λ> maximaSuma5 (triangulo 22) -- 462 -- (0.00 secs, 173,512 bytes) -- λ> maximaSuma6 (triangulo 22) -- 462 -- (0.01 secs, 182,904 bytes) -- λ> maximaSuma7 (triangulo 22) -- 462 -- (0.01 secs, 216,560 bytes) -- λ> maximaSuma8 (triangulo 22) -- 462 -- (0.01 secs, 224,160 bytes) -- -- λ> maximaSuma5 (triangulo 3000) -- 8997000 -- (2.25 secs, 2,059,784,792 bytes) -- λ> maximaSuma6 (triangulo 3000) -- 8997000 -- (2.15 secs, 2,404,239,896 bytes) -- λ> maximaSuma7 (triangulo 3000) -- 8997000 -- (1.53 secs, 2,612,659,504 bytes) -- λ> maximaSuma8 (triangulo 3000) -- 8997000 -- (3.47 secs, 3,520,910,256 bytes) -- -- λ> maximaSuma7 (triangulo 4000) -- 15996000 -- (3.12 secs, 4,634,841,200 bytes) -- Verificación -- ============ verifica :: IO () verifica = hspec spec specG :: ([[Integer]] -> Integer) -> Spec specG maximaSuma = do it "e1" $ maximaSuma [[3],[7,4]] `shouldBe` 10 it "e2" $ maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6]] `shouldBe` 14 it "e3" $ maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] `shouldBe` 23 spec :: Spec spec = do describe "def. 1" $ specG maximaSuma1 describe "def. 2" $ specG maximaSuma2 describe "def. 3" $ specG maximaSuma3 describe "def. 4" $ specG maximaSuma4 describe "def. 5" $ specG maximaSuma5 describe "def. 6" $ specG maximaSuma6 describe "def. 7" $ specG maximaSuma7 describe "def. 8" $ specG maximaSuma8 -- La verificación es -- λ> verifica -- Finished in 0.0053 seconds -- 24 examples, 0 failures
2. Soluciones en Python
from timeit import Timer, default_timer # 1ª solución # =========== def caminos(xss: list[list[int]]) -> list[list[int]]: if not xss: return [[]] if len(xss) == 1: return xss x = xss[0][0] y1 = xss[1][0] y2 = xss[1][1] zss = xss[2:] return [[x, y1] + us for _, *us in caminos([[y1]] + [zs[:-1] for zs in zss])] + \ [[x, y2] + us for _, *us in caminos([[y2]] + [zs[1:] for zs in zss])] # maximaSuma1 :: [[Integer]] -> Integer def maximaSuma1(xss: list[list[int]]) -> int: return max((sum(ys) for ys in caminos(xss))) # 2ª solución # =========== def maximaSuma2(xss: list[list[int]]) -> int: if not xss: return 0 if len(xss) == 1: return xss[0][0] x = xss[0][0] y1 = xss[1][0] y2 = xss[1][1] zss = xss[2:] return x + max(maximaSuma2([[y1]] + [us[:-1] for us in zss]), maximaSuma2([[y2]] + [us[1:] for us in zss])) # Verificación # ============ def test_maximaSuma() -> None: for maximaSuma in [maximaSuma1, maximaSuma2]: assert maximaSuma([[3],[7,4]]) == 10 assert maximaSuma([[3],[7,4],[2,4,6]]) == 14 assert maximaSuma([[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]) == 23 print("Verificado") # La verificación es # >>> test_maximaSuma() # Verificado # Comparación de eficiencia # ========================= # Para la comparaciones se usará la siguiente función que construye un # triángulo de la altura dada. Por ejemplo, # >>> triangulo(2) # [[0], [1, 2]] # >>> triangulo(3) # [[0], [1, 2], [2, 3, 4]] # >>> triangulo(4) # [[0], [1, 2], [2, 3, 4], [3, 4, 5, 6]] def triangulo(n: int) -> list[list[int]]: return [list(range(k, k+k+1)) for k in range(n)] def tiempo(e: str) -> None: """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e.""" t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1) print(f"{t:0.2f} segundos") # La comparación es # >>> tiempo('maximaSuma1(triangulo(20))') # 3.21 segundos # >>> tiempo('maximaSuma2(triangulo(20))') # 0.59 segundos