Sucesión de números amigos
Dos números amigos son dos números enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.
Definir la lista
sucesionAmigos :: [(Integer,Integer)]
cuyos elementos son los pares de números amigos con la primera componente menor que la segunda. Por ejemplo,
take 4 sucesionAmigos == [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] sucesionAmigos6 !! 20 == (185368,203432)
1. Soluciones en Haskell
import Data.List (genericLength, group, inits, nub, sort, subsequences) import Data.Numbers.Primes (primeFactors) import Test.Hspec (Spec, describe, hspec, it, shouldBe) -- 1ª solución -- -- =========== sucesionAmigos1 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos1 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios1 x, y > x, sumaDivisoresPropios1 y == x] -- (sumaDivisoresPropios1 x) es la suma de los divisores propios de -- x. Por ejemplo, -- sumaDivisoresPropios1 220 == 284 -- sumaDivisoresPropios1 284 == 220 sumaDivisoresPropios1 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios1 = sum . divisoresPropios1 -- (divisoresPropios1 x) es la lista de los divisores propios de x. Por -- ejemplo, -- divisoresPropios1 220 == [1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110] -- divisoresPropios1 284 == [1,2,4,71,142] divisoresPropios1 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios1 x = [n | n <- [1..x-1], x `mod` n == 0] -- 2ª solución -- -- =========== sucesionAmigos2 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos2 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios2 x, y > x, sumaDivisoresPropios2 y == x] sumaDivisoresPropios2 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios2 = sum . divisoresPropios2 divisoresPropios2 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios2 x = filter ((== 0) . mod x) [1..x-1] -- 3ª solución -- -- =========== sucesionAmigos3 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos3 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios3 x, y > x, sumaDivisoresPropios3 y == x] sumaDivisoresPropios3 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios3 = sum . divisoresPropios3 divisoresPropios3 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios3 = init . nub . sort . map product . subsequences . primeFactors -- 4ª solución -- -- =========== sucesionAmigos4 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos4 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios4 x, y > x, sumaDivisoresPropios4 y == x] sumaDivisoresPropios4 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios4 = sum . divisoresPropios4 divisoresPropios4 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios4 = init . sort . map (product . concat) . productoCartesiano . map inits . group . primeFactors -- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos -- xss. Por ejemplo, -- λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]] -- [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]] productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]] productoCartesiano [] = [[]] productoCartesiano (xs:xss) = [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss] -- 5ª solución -- -- =========== sucesionAmigos5 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos5 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios5 x, y > x, sumaDivisoresPropios5 y == x] sumaDivisoresPropios5 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios5 = sum . divisoresPropios5 divisoresPropios5 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios5 = init . sort . map (product . concat) . sequence . map inits . group . primeFactors -- 6ª solución -- -- =========== sucesionAmigos6 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos6 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios6 x, y > x, sumaDivisoresPropios6 y == x] sumaDivisoresPropios6 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios6 = sum . init . map (product . concat) . mapM inits . group . primeFactors -- 7ª solución -- -- =========== sucesionAmigos7 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos7 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios7 x, y > x, sumaDivisoresPropios7 y == x] -- Si la descomposición de x en factores primos es -- x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n) -- entonces la suma de los divisores de x es -- p(1)^(e(1)+1) - 1 p(2)^(e(2)+1) - 1 p(n)^(e(2)+1) - 1 -- ------------------- . ------------------- ... ------------------- -- p(1)-1 p(2)-1 p(n)-1 -- Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc sumaDivisoresPropios7 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios7 x = product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x] - x -- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la -- descomposición prima de x. Por ejemplo, -- factorizacion 600 == [(2,3),(3,1),(5,2)] factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)] factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors -- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs -- y la longitud de xs. Por ejemplo, -- primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4) primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer) primeroYlongitud (x:xs) = (x, 1 + genericLength xs) -- Verificación -- ============ verifica :: IO () verifica = hspec spec specG :: [(Integer,Integer)] -> Spec specG sucesionAmigos = do it "e1" $ head sucesionAmigos `shouldBe` (220,284) spec :: Spec spec = do describe "def. 1" $ specG sucesionAmigos1 describe "def. 2" $ specG sucesionAmigos2 describe "def. 3" $ specG sucesionAmigos3 describe "def. 4" $ specG sucesionAmigos4 describe "def. 5" $ specG sucesionAmigos5 describe "def. 6" $ specG sucesionAmigos6 describe "def. 7" $ specG sucesionAmigos7 -- La verificación es -- λ> verifica -- 7 examples, 0 failures -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> take 4 sucesionAmigos1 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (6.00 secs, 3,413,777,560 bytes) -- λ> take 4 sucesionAmigos2 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (2.38 secs, 2,052,151,800 bytes) -- λ> take 4 sucesionAmigos3 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (0.14 secs, 235,238,864 bytes) -- λ> take 4 sucesionAmigos4 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (0.20 secs, 208,315,832 bytes) -- λ> take 4 sucesionAmigos5 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (0.09 secs, 176,149,160 bytes) -- λ> take 4 sucesionAmigos6 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (0.07 secs, 154,686,728 bytes) -- λ> take 4 sucesionAmigos7 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (0.12 secs, 120,826,648 bytes) -- -- λ> sucesionAmigos3 !! 10 -- (67095,71145) -- (3.52 secs, 6,749,059,064 bytes) -- λ> sucesionAmigos4 !! 10 -- (67095,71145) -- (3.11 secs, 4,951,018,904 bytes) -- λ> sucesionAmigos5 !! 10 -- (67095,71145) -- (1.69 secs, 4,294,457,320 bytes) -- λ> sucesionAmigos6 !! 10 -- (67095,71145) -- (1.43 secs, 3,889,045,760 bytes) -- λ> sucesionAmigos7 !! 10 -- (67095,71145) -- (1.63 secs, 3,191,073,224 bytes) -- -- λ> sucesionAmigos5 !! 12 -- (79750,88730) -- (2.13 secs, 5,312,053,312 bytes) -- λ> sucesionAmigos6 !! 12 -- (79750,88730) -- (1.78 secs, 4,820,560,920 bytes) -- λ> sucesionAmigos7 !! 12 -- (79750,88730) -- (2.11 secs, 3,971,113,184 bytes)