En la entrevista "Hardest problems in mathematics, physics & the future of AI", Terence Tao comparte sus reflexiones sobre diversos problemas fundamentales sin resolver en análisis y teoría de números, examina la metodología de la investigación matemática contemporánea y analiza el papel emergente que desempeñan la verificación formal y la inteligencia artificial en la disciplina.

Problemas fundamentales y sus complejidades intrínsecas

Tao examina varios problemas que se encuentran en la frontera del conocimiento matemático actual. En análisis, dedica especial atención al problema de Kakeya, destacando sus profundas conexiones con el análisis armónico y las ecuaciones en derivadas parciales. Su análisis revela cómo este problema aparentemente geométrico se entrelaza con áreas fundamentales del análisis moderno.

Respecto al problema de la regularidad de Navier-Stokes, Tao identifica la "supercriticalidad" como el obstáculo central que impide su resolución. De manera particularmente innovadora, describe su construcción teórica de un análogo fluídico de una máquina de von Neumann, presentándola como una estrategia prometedora para demostrar la existencia de explosiones en tiempo finito (blowup) en las soluciones de estas ecuaciones.

Desafíos en teoría de números

En el ámbito de la teoría de números, Tao analiza la conjetura de los primos gemelos, atribuyendo su persistente dificultad a la extrema fragilidad del patrón subyacente. Explica cómo este patrón podría ser destruido por "conspiraciones" matemáticas imperceptibles para los métodos estadísticos tradicionales. Esta fragilidad contrasta marcadamente con la robustez inherente de las progresiones aritméticas, como las estudiadas en el teorema de Green-Tao.

Un concepto clave que emerge de su análisis es el problema de la paridad*, que identifica como un obstáculo metodológico fundamental en teoría de números. En cuanto a la hipótesis de Riemann, Tao la considera aún más inaccesible a los métodos actuales, situándola en una categoría propia de dificultad.

Marco filosófico y metodológico

Un hilo conductor de la entrevista es la exploración de la dicotomía entre estructura y aleatoriedad, un tema que permea múltiples áreas de las matemáticas. Esta perspectiva filosófica informa tanto el análisis de problemas específicos como la comprensión general de los fenómenos matemáticos.

Metodológicamente, Tao defiende un enfoque de simplificación estratégica en la resolución de problemas. Su estrategia consiste en descomponer problemas complejos en dificultades individuales, abordar cada una por separado, y posteriormente integrar las soluciones. Este método refleja una filosofía pragmática que prioriza la claridad conceptual y el progreso incremental.

Transformación tecnológica de las matemáticas

Una porción sustancial de la discusión se centra en el impacto transformador de la prueba asistida por ordenador, con particular énfasis en el asistente de pruebas Lean. Tao ilustra su potencial a través de su "Equational theories project" de clasificación de 22 millones de identidades algebraicas, demostrando cómo estas herramientas facilitan la colaboración a gran escala y la gestión de la complejidad en pruebas matemáticas modernas.

Sus predicciones sobre el futuro son especialmente significativas: anticipa que las herramientas de inteligencia artificial revolucionarán la formalización matemática. Más ambiciosamente, prevé que la IA podría generar conjeturas matemáticas genuinamente novedosas al identificar conexiones profundas entre campos aparentemente dispares.

Síntesis y perspectiva

La entrevista proporciona una ventana excepcional al proceso intelectual de uno de los matemáticos más influyentes de nuestra época. Tao logra equilibrar la precisión técnica con la accesibilidad conceptual, ofreciendo tanto análisis detallados de problemas específicos como reflexiones más amplias sobre la naturaleza de la investigación matemática.

Su visión integra consideraciones técnicas, marcos filosóficos y prospectivas tecnológicas, presentando una imagen completa de las matemáticas como disciplina en constante evolución. La entrevista destaca no solo los desafíos actuales, sino también las herramientas emergentes que podrían redefinir fundamentalmente cómo se desarrollarán las matemáticas en el futuro.