Vestigium (Publicaciones sobre AI4Math)

Reseña de «If math is more than proof, we need to better celebrate the rest of it»

José A. Alonso — Sat, 03 Oct 2026 10:00:00 GMT

En el artículo «If math is more than proof, we need to better celebrate the rest of it», Grant Sanderson parte de una idea extendida: resolver problemas y generar demostraciones han servido siempre como indicadores del verdadero objetivo de los matemáticos, que es ampliar el conocimiento humano. Si las máquinas pueden producir pruebas sin ese conocimiento, el indicador pierde valor, y quizá se había confundido el medio con el fin.

Su propuesta es definir con más precisión la «explicación motivada» y reconocerla académicamente, igual que se premia demostrar problemas abiertos. No se trata de divulgación, sino de responder a «¿cómo se te ocurriría eso?». Una demostración explica por qué un teorema es cierto; una explicación motivada añade por qué merece plantearse y cómo encaja en su contexto.

Sanderson admite que este objetivo es más ambiguo que encontrar pruebas, pero evitar las métricas subjetivas es evitar lo más humano de la disciplina. Imagina tratar los problemas de exposición abierta con la misma seriedad, valorar los buenos libros de texto en contrataciones y ver el momento actual, maleable, como una oportunidad para quienes se asoman al campo.

Reseña de «Only Anatevka: the mathematical community's values, its incentives, and LLMs»

José A. Alonso — Sat, 03 Oct 2026 09:00:00 GMT

En el artículo «Only Anatevka: the mathematical community's values, its incentives, and LLMs», Ethan Sussman sostiene que los LLMs han provocado una desalineación sin precedentes en la comunidad matemática. La lectura habitual la presenta como un choque entre los valores tradicionales de los matemáticos y los de las empresas que fabrican estos modelos. Sussman propone otra explicación: muchos de esos conflictos nacen de una discrepancia anterior entre los valores que profesamos y los incentivos que hemos creado, de modo que la responsabilidad de corregirla es nuestra.

Se afirma con frecuencia que la comprensión es el verdadero fin del trabajo matemático, pero el autor duda de que el sistema actual esté diseñado para maximizarla. Como no se puede premiar directamente, se recompensan indicadores medibles, y el principal es el artículo publicado en una revista prestigiosa. Que ese indicador mida realmente la comprensión es discutible, y los LLMs exponen y amplían esa brecha.

Sussman señala que la carta abierta parece suponer que, sin el incentivo de la prioridad, los matemáticos tendrían poco interés en continuar. Si su trabajo aporta conocimiento real, eso indicaría que los incentivos fallan. Aunque Hardy tuviera razón en considerar estas tareas propias de mentes de segunda categoría, en la era de los enjambres de agentes todos lo somos. Por eso corresponde a los matemáticos rediseñar los incentivos para recompensar todo el espectro de la actividad matemática.

Reseña de «To grieve, or not to grieve? (Mathematics and AI)»

José A. Alonso — Fri, 02 Oct 2026 08:00:00 GMT

En el artículo «To grieve, or not to grieve? (Mathematics and AI)» Kevin Buzzard explora la crisis existencial que atraviesan los matemáticos ante el avance de la IA, comparando su reacción con el proceso de duelo. Ante una tecnología que ya supera el razonamiento humano en tareas complejas, muchos expertos se preguntan: ¿cuál es ahora nuestro papel?

Este avance abre un debate filosófico sobre la esencia de la disciplina: ¿buscamos el entendimiento conceptual o basta con el resultado técnico verificable? En este contexto, el autor denuncia el secretismo de OpenAI sobre sus descubrimientos, argumentando que ocultar estos datos es una censura que obliga a los científicos a perder tiempo en problemas ya resueltos.

A pesar de todo, el autor se muestra optimista. Propone integrar la IA para acelerar el avance hacia límites desconocidos, permitiendo que el ingenio humano comience una nueva y más avanzada aventura científica.

Reseña de «AI solves a ‘holy grail’ problem from probability theory»

José A. Alonso — Thu, 01 Oct 2026 10:00:00 GMT

El artículo «AI solves a ‘holy grail’ problem from probability theory» explora el misterio de la teoría de la percolación y la búsqueda de su «umbral crítico». En esencia, este campo estudia cómo el caos de sucesos aleatorios puede dar lugar a estructuras coherentes, una pregunta clave para entender, por ejemplo, cómo fluye un líquido a través de una esponja o un material poroso.

A pesar de los esfuerzos de los mejores matemáticos del mundo, demostrar que las transiciones eran continuas entre las dimensiones 3 y 10 se mantuvo como un desafío inalcanzable. Fue el propio Hugo Duminil-Copin quien advirtió que, debido a la complejidad del problema, era probable que la inteligencia artificial se adelantara a la capacidad humana.

Esa predicción se cumplió cuando un modelo de Anthropic logró publicar la prueba matemática que resolvía la conjetura. Este avance no solo cierra un capítulo teórico, sino que abre un debate filosófico sobre el futuro de las matemáticas y el significado de los premios académicos en una era donde la IA puede superar el intelecto humano.

Reseña de «Can AI truly prove anything?»

José A. Alonso — Wed, 30 Sep 2026 10:00:00 GMT

El artículo Can AI truly prove anything? sostiene que la capacidad de la IA para generar pruebas formales (como en código Lean) no equivale a "hacer matemáticas". Propone distinguir entre resultados "simplemente correctos" (verificables pero incomprensibles) y "matemáticamente demostrados" (comprendidos por humanos). Advierte que priorizar la eficiencia de la IA sobre la comprensión humana podría llevar a una pérdida irreversible del pensamiento matemático, reduciendo la ciencia a un proceso opaco.

Reseña de «Responsible release of AI-generated mathematics»

José A. Alonso — Wed, 30 Sep 2026 09:00:00 GMT

El artículo Responsible release of AI-generated mathematics, del Advisory group on mathematics and artificial intelligence, analiza la tensión entre los avances de la inteligencia artificial en matemáticas y las normas tradicionales del campo matemático. Destaca que el progreso científico depende fundamentalmente de la comprensión humana, un pilar ahora amenazado por resultados automáticos incomprensibles para sus propios creadores humanos actuales.

Para mitigar este riesgo, propone protocolos técnicos estrictos en repositorios independientes y transparencia total sobre los procesos computacionales utilizados. Exige además que las empresas tecnológicas financien activamente el estudio de estos hallazgos mediante becas o conferencias gestionadas por instituciones sin ánimo de lucro externas.

Finalmente, aboga por un acceso equitativo a la tecnología para evitar una división jerárquica en la ciencia global. El objetivo es asegurar que la verificación colectiva y la intuición compartida sigan siendo los motores principales del avance matemático mundial frente al secretismo corporativo.

Reseña de «Applied mathematics has met the machine before»

José A. Alonso — Tue, 29 Sep 2026 09:00:00 GMT

El artículo Applied mathematics has met the machine before sostiene que la IA no afecta por igual a las matemáticas puras y a las aplicadas. Las puras se identifican con grandes conjeturas, sus «faros», y sufren si una máquina las resuelve. Las aplicadas se identifican con un servicio a los problemas de cada época.

Para las aplicadas, la IA no apaga un faro: acerca la orilla. Ya vivieron algo parecido con el ordenador, cuando las calculadoras humanas pasaron a programar y la disciplina subió de ejecutar aritmética a diseñar algoritmos. Ahora la IA acelera el código, facilita cambiar de campo y puede multiplicar los teoremas demostrados.

Dutykh concluye con optimismo, pero pide un terreno común. Las puras marcan el estándar al digerir las pruebas, y las aplicadas aportan décadas de verificación y validación. Juntas deben exigir revisión independiente y publicación en revistas antes de aceptar un resultado como teorema.

Formalización del libro "Calculus" de Spivak en Lean 4

José A. Alonso — Sun, 27 Sep 2026 09:00:00 GMT

Se ha publicado un nuevo proyecto de formalización en Lean 4 basado en el libro Calculus de Spivak. Este proyecto, desarrollado por Jon-Erik G. Storm en colaboración con Claude, se encuentra en el repositorio SpivakCalculus de GitHub.

Lista de usos y expectativas de la IA en matemáticas

José A. Alonso — Wed, 23 Sep 2026 04:00:00 GMT

De la lectura del artículo "Be a Grothendieck!" — On AI and Mathematics he elaborado la siguiente lista de usos y expectativas de la IA en matemáticas.

Sintetizar el estado del arte de un área o problema específico.
Participar como interlocutora en debates y discusiones de investigación matemática.
Ejecutar los cálculos requeridos durante el proceso de investigación.
Resolver problemas abiertos, ya sea demostrando una conjetura o hallando un contraejemplo.
Simplificar demostraciones para obtener pruebas más intuitivas y con mayor valor pedagógico.
Diseñar nuevos métodos de verificación, tanto a nivel informal (estilo humano) como en sistemas formales o híbridos.
Formalizar demostraciones y generar certificados formales de corrección lógica.
Estandarizar y depurar pruebas formales (canonizarlas), optimizándolas para su integración en el corpus matemático.
Detectar errores en publicaciones matemáticas y construir contraejemplos que las refuten.
Formular nuevos problemas y conjeturas interesantes.
Introducir conceptos matemáticos inéditos y de interés teórico.
Construir ejemplos fundamentales por su valor intrínseco, y no solo como herramientas instrumentales para resolver problemas ya planteados.
Desarrollar teorías matemáticas completamente nuevas.
Idear métodos heurísticos y semirrigurosos para explorar nuevos terrenos matemáticos.
Perfeccionar métodos computacionales, numéricos, algorítmicos y estadísticos.
Trazar conexiones interdisciplinares y aplicaciones en otras áreas de la ciencia y la tecnología.
Transformar la enseñanza y la divulgación de las matemáticas.
Evaluar críticamente la relevancia y profundidad relativa de distintas ramas, preguntas y líneas de investigación.

Los he agrupado en tres categorías (alcanzados, alcanzables e inalcanzables). Se trata de un terreno que cambia mes a mes, así que conviene verlo como una fotografía aproximada y no como un estado final.

Objetivos alcanzados

Tareas que la IA ya hace y existen ejemplos concretos.

3. Realizar los cálculos necesarios para una investigación. Logrado desde hace décadas con sistemas de álgebra computacional (CAS como Maxima o Mathematica), y hoy potenciado por LLMs integrados con intérpretes de código.
15. Mejorar métodos computacionales, numéricos, algorítmicos y estadísticos. Demostrado con ejemplos como AlphaTensor (que halló algoritmos más rápidos para la multiplicación de matrices) y AlphaDev (que optimizó rutinas de ordenación en C++).
1. Explicar el estado del arte de un área o problema específico. Los modelos actuales sintetizan literatura científica, trazan árboles genealógicos de teoremas y resumen artículos técnicos con notable precisión. _ 2. Participar en discusiones sobre proyectos matemáticos. Matemáticos como Terence Tao utilizan habitualmente estos modelos como copilotos para explorar enfoques, contrastar intuiciones o buscar ideas preliminares.
17. Enseñar matemáticas. Los sistemas tutores basados en IA y los LLMs adaptan sus explicaciones pedagógicas a distintos niveles educativos en todo el mundo.
16. Descubrir conexiones y aplicaciones con otras ciencias. La IA sirve de puente recurrente para aplicar modelos matemáticos a la física de partículas, la biología estructural (AlphaFold) o la optimización en ingeniería.
5. Simplificar demostraciones para hacerlas pedagógicas. Dada una demostración críptica, la IA resulta eficaz reescribiéndola paso a paso y traduciendo notación densa a conceptos más directos e intuitivos.

Objetivos alcanzables

Tareas para las que hay evidencia de progreso y casos de éxito puntuales.

4. Resolver problemas matemáticos y demostrar la solución. Ya logrado en problemas de nivel olímpico (AlphaProof en la IMO) y en problemas combinatorios abiertos (FunSearch, en el cap set problem); generalizarlo a problemas abiertos todavía requiere desarrollo.
7. Formalizar demostraciones y ofrecer certificados de corrección. La autoformalización (traducir matemáticas en lenguaje natural a código ejecutable en Lean, Isabelle o Coq) avanza con rapidez y es uno de los campos más activos.
8. Canonizar demostraciones formales. La refactorización, desduplicación y estandarización de bibliotecas matemáticas formales (como Mathlib) es un problema de optimización que la IA debería poder abordar en los próximos años.
9. Detectar errores en publicaciones relevantes y hallar contraejemplos. Los LLMs aún sufren de alucinaciones lógicas sutiles, pero su acoplamiento con SMT-solvers y verificadores formales permitirá revisar artículos matemáticos de forma sistemática.
6. Idear nuevas formas de verificación, humana y formal. Los sistemas híbridos (formalización parcial, pruebas asistidas interactivas) ya están redefiniendo cómo se valida la literatura matemática.
10. Plantear nuevos problemas y conjeturas. Ya existen colaboraciones donde la IA descubre patrones no evidentes en datos matemáticos (por ejemplo, en teoría de nudos) que inspiran conjeturas a los humanos; el siguiente paso es que la IA formule conjeturas fértiles de forma autónoma.
14. Desarrollar métodos heurísticos y semirrigurosos. El aprendizaje por refuerzo destaca explorando espacios de búsqueda donde el rigor estricto se sustituye por aproximaciones probabilísticas prometedoras.
12. Crear nuevos ejemplos fundamentales por su valor intrínseco. Generar estructuras o contraejemplos que actúen como hitos conceptuales (y no solo como parches puntuales) es una extensión natural de los métodos de búsqueda guiada.

Objetivos inalcanzables

Tareas con poca evidencia de que la IA lo haga.

13. Desarrollar nuevas teorías matemáticas. Prácticamente inalcanzable de forma puramente autónoma. Levantar un edificio teórico nuevo (como la geometría algebraica moderna de Grothendieck, la teoría de categorías o el programa de Langlands) no es un problema de búsqueda ni de combinación lógica: exige crear un lenguaje desde cero para dar sentido a lo que antes ni siquiera podía enunciarse.
11. Introducir conceptos matemáticos inéditos y profundos. Muy difícil, si no inalcanzable, sin intervención humana. Generar definiciones formales nuevas es trivial para una máquina; el desafío está en inventar conceptos fértiles y significativos a largo plazo, algo inseparable de la mente y la experiencia conceptual humana.
18. Evaluar la relevancia y profundidad relativas de áreas y preguntas. Inalcanzable de manera objetiva por una IA. Decidir qué es "profundo", "interesante" o "bello" en matemáticas es un juicio cultural y estético, no computable. Una IA puede predecir qué temas generarán atención humana, pero no puede asignarles significado de forma independiente a la comunidad matemática.

Readings shared September 21, 2026

José A. Alonso — Mon, 21 Sep 2026 04:00:00 GMT

The readings shared in Mastodon on 21 September 2026 are:

A machine-checked proof of the Dong-Yang classification of optimal (n,4) binary codes for BSCs. ~ Shenghao Yang, Yanyan Dong. #LeanProver #ITP #AI4Math
Descriptive complexity in Lean: completeness by first-order reductions. ~ Pierre Senellart, Anton Gnatenko. #LeanProver #ITP #AI4Math
Formalization of Sullivan's no wandering domains theorem in Lean. ~ Ziang Li, Yusheng Luo. #LeanProver #ITP #AI4Math
Henstock-Kurzweil gauge integral in the non–gaussian regime: a machine-verified construction. ~ Yuri N. Berdinsky. #LeanProver #ITP
Lean metaprogramming etudes: execution is elaboration. ~ Philip Zucker. #LeanProver #ITP #FunctionalProgramming
Lean-certified infinite counterexamples to written on the Wall II Conjecture 194. ~ Cameron Beeley. #LeanProver #ITP #AI4Math
Mechanizing Gödel's incompleteness theorems and provability logic. ~ Shogo Saitou, Mashu Noguchi. #LeanProver #ITP #AI4Math
Palindromic length in free groups: reflections, noncrossing matchings, and Catalan. ~ Junjie Liao. #LeanProver #ITP
Fast chinese remaindering via product trees (in Isabelle/HOL). ~ Manuel Eberl. #IsabelleHOL #ITP
Greibach’s hardest context-free language (in Isabelle/HOL). ~ Tobias Nipkow. #IsabelleHOL #ITP
Napoleon's theorem (in Isabelle/HOL). ~ Arthur Freitas Ramos, David Barros Hulak, Ruy Jose Guerra Barretto de Queiroz. #IsabelleHOL #ITP #Math
Strong normalization for Church-style system F (in Isabelle/HOL). ~ Arthur Freitas Ramos, David Barros Hulak, Ruy Jose Guerra Barretto de Queiroz. #IsabelleHOL #ITP
Structuring mathematics in dependent type theory. ~ Cyril Cohen. #RocqProver #ITP #Math
A CERN for AI-assisted science? ~ Dimitris Koukoulopoulos. #AI4Math
A beginning for mathematics. ~ Daniel Litt. #AI4Math
AI and human approaches to mathematical problem solving. ~ Yang Ding. #AI4Math
Awesome AI proofs (A curated list of mathematical proofs generated by artificial intelligent systems, verified by automated theorem prover, and a list of successes and mishaps). ~ Subhrajyoty Roy, Subrata Pal. #AI4Math
Building open models for the mathematical community (An invitation from SAIR Foundation). #AI4Math
Existential risk from AI: an exposition for mathematicians. ~ Xiaoyu He. #AI4Math
Fast math/slow math. ~ Benjamin Antieau. #AI4Math
Happy, those able to know the causes of things (An essay on LLMs and the Navier-Stokes equation). ~ Nestor Guillen. #AI4Math
SOLVED: Navier-Stokes cracked by AI. | Numberphile ~ Tony Padilla. #AI4Math
Stable singularity of the Euler equations on ℝ³. ~ Adarsh Ganeshram, Valentin Duruisseaux, Anima Anandkumar. #AI4Math #LeanProver #ITP
Two responses to "A severe misalignment of AI in mathematics". ~ Timothy Nguyen, M. Levent Doğan. #AI4Math
When inventing is not enough. ~ Lisa Valentini. #AI4Math
Where will all the papers go? ~ David Craven. #AI4Math
Why I didn’t sign the Fields medallists’ letter. ~ Tim Gowers. #AI4Math
Search over algebraic graphs. ~ David Anekstein. #Haskell #FunctionalProgramming
gptel: Emacs y la IA. ~ Notxor. #Emacs #AI
#Calculemus: Demostraciones con Lean 4 del Reto 10 (Si aₙ → L con L ≠ 0, entonces |aₙ| ≥ |L|/2 eventualmente). #LeanProver #ITP #Math
#Calculemus: Demostraciones con Lean 4 del Reto 11 (Si aₙ converge a L, entonces |aₙ| converge a |L|). #LeanProver #ITP #Math
#Calculemus: Demostraciones con Lean 4 del Reto 12 (Si aₙ → L, bₙ → M y L < M, entonces eventualmente aₙ < bₙ). #LeanProver #ITP #Math
#Calculemus: Demostraciones con Lean 4 del Reto 6 (teorema del emparedado). #LeanProver #Math
#Calculemus: Demostraciones con Lean 4 del Reto 7 (La composición de funciones inyectivas es inyectiva). #LeanProver #Math
#Calculemus: Demostraciones con Lean 4 del Reto 8 (Sucesiones con infinitos términos grandes no convergen a límites pequeños). #Math
#Calculemus: Demostraciones con Lean 4 del Reto 9 (Unicidad del límite). #LeanProver #ITP #Math
#RetoLean4: Enunciado del reto 19 (Las sucesiones convergentes son de Cauchy). #LeanProver #ITP #Math
#RetoLean4: Soluciones del reto 18 (Convergencia del producto de sucesiones convergentes). #LeanProver #ITP #Math