Vestigium (Publicaciones sobre AIforMath)

Reseña de «Machine assistance and the future of research mathematics»

José A. Alonso — Thu, 12 Feb 2026 11:50:00 GMT

Ayer se publicó la conferencia de Terence Tao titulada «Machine assistance and the future of research mathematics», donde analiza la transformación de esta disciplina por la IA. Tao señala que las matemáticas están pasando de estudios individuales a proyectos masivos. El ingrediente clave es la verificación formal, que permite validar contribuciones masivas y filtrar el ruido de la IA.

Tao usa los problemas de Erdős para ilustrar cómo la IA agiliza la búsqueda de literatura y la traducción a código verificable. Aunque aún no supera los retos más complejos, la IA es ideal para resolver sistemáticamente problemas de dificultad media. Tao augura un futuro de colaboración humano-máquina que democratizará y escalará la investigación científica de forma inédita.

Readings shared June 19, 2025

José A. Alonso — Fri, 20 Jun 2025 04:00:00 GMT

The readings shared in Bluesky on 19 June 2025 are

Galois energy games (in Isabelle/HOL). ~ Caroline Lemke. #ITP #IsabelleHOL
Chomsky-Schützenberger representation theorem (in Isabelle/HOL). ~ Moritz Roos. #ITP #IsabelleHOL
Dyck language (in Isabelle/HOL). ~ Tobias Nipkow, Moritz Roos. #ITP #IsabelleHOL
Making concurrent hardware verification sequential. ~ Thomas Bourgeat, Jiazheng Liu, Adam Chlipala, Arvind. #ITP #CoqProver #Rocq
Reviving DSP for advanced theorem proving in the era of reasoning models. ~ Chenrui Cao, Liangcheng Song, Zenan Li, Xinyi Le, Xian Zhang, Hui Xue, Fan Yang. #AI #Math #AIforMath #LLMs #ITP #LeanProver
Reseña de «Can A.I. quicken the pace of math discovery?». #AI #Math #AIforMath #ITP #LeanProver

Readings shared June 15, 2025

José A. Alonso — Mon, 16 Jun 2025 06:00:00 GMT

The readings shared in Bluesky on 15 June 2025 are

BiCoq: Bigraphs formalisation with Coq. ~ Cécile Marcon et als. #ITP #CoqProver #Rocq #Math
Introduction to competitive programming in Haskell. ~ Brent Yorgey. #Haskell #FunctionalProgramming
Data structures and algorithms for competitive programming in Haskell. ~ Soumik Sarkar. #Haskell #FunctionalProgramming
Hardest problems in mathematics, physics & the future of AI. ~ Terence Tao, Lex Fridman. #ITP #LeanProver #AI #Math #AIforMath
Hablemos de LISP. ~ Manuel Rubio, Antonio Rubio. #Lisp #Programming
Reseña de «Hardest problems in mathematics, physics & the future of AI». #ITP #LeanProver #AI #Math #AIforMath
Reseña de «Hablemos de Lisp». #Lisp #FunctionalProgramming

Reseña de «Hardest problems in mathematics, physics & the future of AI»

José A. Alonso — Sun, 15 Jun 2025 10:00:00 GMT

En la entrevista "Hardest problems in mathematics, physics & the future of AI", Terence Tao comparte sus reflexiones sobre diversos problemas fundamentales sin resolver en análisis y teoría de números, examina la metodología de la investigación matemática contemporánea y analiza el papel emergente que desempeñan la verificación formal y la inteligencia artificial en la disciplina.

Problemas fundamentales y sus complejidades intrínsecas

Tao examina varios problemas que se encuentran en la frontera del conocimiento matemático actual. En análisis, dedica especial atención al problema de Kakeya, destacando sus profundas conexiones con el análisis armónico y las ecuaciones en derivadas parciales. Su análisis revela cómo este problema aparentemente geométrico se entrelaza con áreas fundamentales del análisis moderno.

Respecto al problema de la regularidad de Navier-Stokes, Tao identifica la "supercriticalidad" como el obstáculo central que impide su resolución. De manera particularmente innovadora, describe su construcción teórica de un análogo fluídico de una máquina de von Neumann, presentándola como una estrategia prometedora para demostrar la existencia de explosiones en tiempo finito (blowup) en las soluciones de estas ecuaciones.

Desafíos en teoría de números

En el ámbito de la teoría de números, Tao analiza la conjetura de los primos gemelos, atribuyendo su persistente dificultad a la extrema fragilidad del patrón subyacente. Explica cómo este patrón podría ser destruido por "conspiraciones" matemáticas imperceptibles para los métodos estadísticos tradicionales. Esta fragilidad contrasta marcadamente con la robustez inherente de las progresiones aritméticas, como las estudiadas en el teorema de Green-Tao.

Un concepto clave que emerge de su análisis es el problema de la paridad*, que identifica como un obstáculo metodológico fundamental en teoría de números. En cuanto a la hipótesis de Riemann, Tao la considera aún más inaccesible a los métodos actuales, situándola en una categoría propia de dificultad.

Marco filosófico y metodológico

Un hilo conductor de la entrevista es la exploración de la dicotomía entre estructura y aleatoriedad, un tema que permea múltiples áreas de las matemáticas. Esta perspectiva filosófica informa tanto el análisis de problemas específicos como la comprensión general de los fenómenos matemáticos.

Metodológicamente, Tao defiende un enfoque de simplificación estratégica en la resolución de problemas. Su estrategia consiste en descomponer problemas complejos en dificultades individuales, abordar cada una por separado, y posteriormente integrar las soluciones. Este método refleja una filosofía pragmática que prioriza la claridad conceptual y el progreso incremental.

Transformación tecnológica de las matemáticas

Una porción sustancial de la discusión se centra en el impacto transformador de la prueba asistida por ordenador, con particular énfasis en el asistente de pruebas Lean. Tao ilustra su potencial a través de su "Equational theories project" de clasificación de 22 millones de identidades algebraicas, demostrando cómo estas herramientas facilitan la colaboración a gran escala y la gestión de la complejidad en pruebas matemáticas modernas.

Sus predicciones sobre el futuro son especialmente significativas: anticipa que las herramientas de inteligencia artificial revolucionarán la formalización matemática. Más ambiciosamente, prevé que la IA podría generar conjeturas matemáticas genuinamente novedosas al identificar conexiones profundas entre campos aparentemente dispares.

Síntesis y perspectiva

La entrevista proporciona una ventana excepcional al proceso intelectual de uno de los matemáticos más influyentes de nuestra época. Tao logra equilibrar la precisión técnica con la accesibilidad conceptual, ofreciendo tanto análisis detallados de problemas específicos como reflexiones más amplias sobre la naturaleza de la investigación matemática.

Su visión integra consideraciones técnicas, marcos filosóficos y prospectivas tecnológicas, presentando una imagen completa de las matemáticas como disciplina en constante evolución. La entrevista destaca no solo los desafíos actuales, sino también las herramientas emergentes que podrían redefinir fundamentalmente cómo se desarrollarán las matemáticas en el futuro.

Readings shared June 13, 2025

José A. Alonso — Sat, 14 Jun 2025 09:15:00 GMT

The readings shared in Bluesky on 13 June 2025 are

Formalizing zeta and L-functions in Lean. ~ David Loeffler, Michael Stoll. #ITP #LeanProver #Math
Formal verification of relational algebra transformations in Fiat2 using Coq. ~ Christian Teshome. #ITP #CoqProver #Rocq
Growing a modular framework for modal systems - HOLMS: a HOL Light library. ~ Antonella Bilotta. #ITP #HOL_Light #Logic #Math
Trinity: an autoformalization system for verified superintelligence. #Autoformalization #AIforMath #ITP #LeanProver
The abc conjecture almost always — autoformalized. ~ Jesse Michael Han et als. #Autoformalization #AIforMath #ITP #LeanProver
MATP-BENCH: Can MLLM be a good automated theorem prover for multimodal problems? ~ Zhitao He et als. #AI #MLLMs #Math #ITP #IsabelleHOL #LeanProver #CoqProver #AIforMath
Mathesis: Towards formal theorem proving from natural languages. ~ Yu Xuejun et als. #AI #LLMs #Math #ITP #LeanProver #AIforMath
StepProof: Step-by-step verification of natural language mathematical proofs. ~ Xiaolin Hu, Qinghua Zhou, Bogdan Grechuk, Ivan Y. Tyukin. #LLMs #ITP #IsabelleHOL #Math #AIforMath
Reseña de «MATP-BENCH: Can MLLM be a good automated theorem prover for multimodal problems?». #AI #MLLMs #Math #ITP #IsabelleHOL #LeanProver #CoqProver #AIforMath
Reseña de «Mathesis: Towards formal theorem proving from natural languages». #AI #LLMs #Math #ITP #LeanProver #AIforMath

Reseña de «Mathesis: Towards formal theorem proving from natural languages»

José A. Alonso — Fri, 13 Jun 2025 16:35:00 GMT

En el artículo «Mathesis: Towards formal theorem proving from natural languages», se aborda la limitación clave de los demostradores de teoremas: su dependencia de enunciados ya formalizados. El trabajo se centra en el paso crítico de la 'autoformalización' —la traducción a un lenguaje formal como Lean 4— y presenta Mathesis, un sistema integral diseñado para automatizar todo el proceso.

El sistema introduce un Mathesis-Autoformalizer entrenado mediante aprendizaje por refuerzo para optimizar la traducción a código Lean. Su rendimiento se evalúa con LeanScorer, y se pone a prueba en Gaokao-Formal, un nuevo y exigente banco de pruebas. Finalmente, Mathesis-Prover genera la demostración completa en Lean, asegurando que la prueba final sea verificable.

Los resultados demuestran que Mathesis alcanza un rendimiento de vanguardia en varios bancos de prueba. El análisis revela una conclusión crucial: las mejoras en la autoformalización impactan el éxito final mucho más que las mejoras en el demostrador. Esto se explica porque si el problema se traduce incorrectamente a código Lean, el demostrador recibe una tarea mal planteada y no puede generar una prueba válida, sin importar su potencia. El trabajo confirma así que una traducción inicial de alta calidad es el factor más determinante para el éxito del proceso.

Reseña de «MATP-BENCH: Can MLLM be a good automated theorem prover for multimodal problems?»

José A. Alonso — Fri, 13 Jun 2025 15:10:00 GMT

En el artículo «MATP-BENCH: Can MLLM be a good automated theorem prover for multimodal problems?», los autores investigan la aplicabilidad de los modelos de lenguaje grandes multimodales (MLLMs) al problema de la demostración automática de teoremas que involucran componentes tanto textuales como visuales. Motivados por las limitaciones de los enfoques puramente textuales en dominios como la geometría, donde los diagramas constituyen información esencial, desarrollan un marco de evaluación sistemático para esta clase de problemas.

La contribución principal consiste en la construcción de MATP-BENCH, un conjunto de datos que contiene más de 1000 problemas matemáticos multimodales formalizados en tres asistentes de demostración: Lean 4, Coq e Isabelle/HOL. El corpus abarca problemas de complejidad variable, desde el nivel de secundaria hasta competiciones matemáticas avanzadas, proporcionando así un banco de pruebas comprehensivo para evaluar capacidades de razonamiento multimodal.

Los experimentos incluyen seis modelos representativos: tres con capacidades especializadas de razonamiento (OpenAI-o1, Claude-3.7-Sonnet-Thinking, Gemini-2.0-Flash-Thinking) y tres sin estas capacidades (GPT-4.1, Qwen2.5-VL-Instruct-70B, Llama3.2-Vision-Instruct-11B). Los resultados revelan que, si bien los modelos demuestran competencia en la comprensión de problemas y formalización de enunciados, exhiben deficiencias significativas en la construcción de cadenas de inferencia válidas.

El análisis establece que la principal limitación no radica en las capacidades de percepción visual sino en la insuficiencia del razonamiento simbólico formal. Los autores concluyen que los MLLMs actuales no constituyen demostradores automáticos efectivos para problemas multimodales, identificando la brecha entre comprensión multimodal y razonamiento lógico como el desafío fundamental a resolver.

MATP-BENCH se posiciona como el primer banco de prueba estándar para este dominio, proporcionando una base metodológica para la evaluación de futuros desarrollos en demostración automática multimodal.

Readings shared June 11, 2025

José A. Alonso — Thu, 12 Jun 2025 06:16:00 GMT

The readings shared in Bluesky on 11 June 2025 are

LeanTutor: A formally-verified AI tutor for mathematical proofs. ~ Manooshree Patel et als. #ITP #LeanProver #Math #AIforMath #Teaching
Common Lean pitfalls. ~ Niels Voss. #ITP #LeanProver
Rewriting SymCrypt in Rust to modernize Microsoft’s cryptographic library. ~ Brenda Potts. #ITP #LeanProver #RustLang
Z3Guide: A scalable, student-centered, and extensible educational environment for logic modeling. ~ Ruanqianqian Huang, Ayana Monroe, Peli de Halleux, Sorin Lerner, Nikolaj Bjørner. #Logic #SMT #Z3 #Teaching
Martin Davis: An overview of his work in logic, computer science, and philosophy. ~ Liesbeth De Mol, Yuri V. Matiyasevich, Eugenio G. Omodeo, Alberto Policriti, Wilfried Sieg, Elaine J. Weyuker. #Logic #Math #CompSci
El futuro del razonamiento matemático: Integrando IA y Lean. #IA #ITP #LeanProver #Math #AIforMath
Reseña de 'LeanTutor: A formally-verified AI tutor for mathematical proofs'. #ITP #LeanProver #Math #AIforMath #Teaching

Reseña de «LeanTutor: A formally-verified AI tutor for mathematical proofs»

José A. Alonso — Wed, 11 Jun 2025 17:26:00 GMT

El artículo |LeanTutor: A formally-verified AI tutor for mathematical proofs» aborda un problema común en la educación matemática: los estudiantes tienen dificultades para aprender demostraciones. Actualmente existen dos tipos de herramientas, pero ninguna funciona bien para enseñar. Los chatbots como ChatGPT son fáciles de usar pero dan respuestas directas o incorrectas, sin ayudar realmente al aprendizaje. Los asistentes de demostración como Lean verifican las matemáticas perfectamente, pero son demasiado complicados para principiantes. Se necesita una herramienta que combine lo mejor de ambos: la facilidad del lenguaje natural y la precisión de la verificación formal.

Los autores crearon LeanTutor, un sistema que funciona como tutor inteligente combinando lenguaje natural con verificación formal. El sistema tiene tres partes que trabajan juntas. Primero, el 'autoformalizador' toma lo que escribe el estudiante en lenguaje normal y lo convierte a código Lean para verificar si es correcto. Si hay un error, el 'generador del siguiente paso' calcula cuál sería la respuesta correcta. Finalmente, el 'generador de retroalimentación' convierte esta información técnica en consejos útiles para el estudiante, dándole pistas sin revelar directamente la solución.

Los investigadores probaron LeanTutor usando un nuevo conjunto de datos llamado PeanoBench y los resultados fueron positivos. El sistema logró convertir correctamente la mayoría de los pasos que escribían los estudiantes y detectó muchos errores. Cuando compararon la retroalimentación de LeanTutor con otros sistemas, encontraron que era más precisa y útil para los estudiantes. Los autores concluyen que este enfoque de combinar IA conversacional con verificación formal es una buena dirección para crear mejores herramientas educativas.

Este trabajo presenta una idea muy buena para mejorar la educación matemática. La principal fortaleza es que logra combinar de manera inteligente la facilidad de uso del lenguaje natural con la precisión matemática de Lean. Sin embargo, también tiene algunas limitaciones importantes. El sistema necesita tener de antemano la solución correcta del problema, y asume que los pasos del estudiante se pueden traducir directamente a código Lean, lo que podría no funcionar en situaciones más complejas. A pesar de estas limitaciones, LeanTutor es un buen primer paso que muestra cómo la IA puede ayudar a enseñar matemáticas de forma más efectiva y segura.

Reseña de «Will computers prove theorems?»

José A. Alonso — Wed, 11 Jun 2025 15:26:00 GMT

En su conferencia «Will computers prove theorems?», Kevin Buzzard plantea que los ordenadores ya demuestran teoremas, pero la pregunta crucial es cómo pueden transformar la investigación matemática. Aunque reconoce la utilidad de las herramientas actuales como las redes neuronales para identificar patrones, su aplicación permanece limitada. Los modelos de lenguaje como ChatGPT, por su parte, pueden ofrecer ideas valiosas, pero fracasan rotundamente en el razonamiento lógico: tienden a "alucinar" o inventar detalles para parecer convincentes, lo que los convierte en herramientas poco confiables para las matemáticas rigurosas.

La solución que propone Buzzard para superar estas limitaciones radica en la sinergia entre la inteligencia artificial y los asistentes de demostración formal como Lean. Su propuesta consiste en entrenar modelos de IA para que generen pruebas directamente en código de Lean, en lugar de utilizar lenguaje natural. De este modo, el asistente de demostración funciona como un verificador infalible: cualquier argumento lógicamente incorrecto será rechazado automáticamente por el sistema. Esta metodología obligaría a la IA a evolucionar desde la mera imitación de patrones hacia la construcción de razonamientos lógicamente verificables.

No obstante, el principal obstáculo para materializar esta visión es la escasez de matemáticas modernas y avanzadas formalizadas en Lean, elementos esenciales para el entrenamiento de estos modelos. Buzzard concluye con un llamamiento directo a la comunidad matemática: considera que es responsabilidad de los investigadores emprender la tarea fundamental de formalizar el conocimiento de sus respectivos campos, tal como él mismo está haciendo con el último teorema de Fermat. Argumenta que este esfuerzo resulta crucial para desarrollar las herramientas que revolucionarán la disciplina, a pesar de que el sistema académico actual no reconozca ni recompense adecuadamente este tipo de contribuciones.