Demostrar con Lean4 que si \(G\) es un grupo y \(a, b, c ∈ G\) tales que \(a·b = a·c\), entonces \(b = c\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Basic

variable {G : Type} [Group G]
variable {a b c : G}

example
  (h: a * b = a  * c)
  : b = c :=
sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(G\) un grupo y \(a ∈ G\), entonces \[(a⁻¹)⁻¹ = a\]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Basic

variable {G : Type} [Group G]
variable {a : G}

example : (a⁻¹)⁻¹ = a :=
sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(G\) es un grupo y \(a, b \in G\), entonces \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Defs

variable {G : Type _} [Group G]
variable (a b : G)

example : (a * b)⁻¹ = b⁻¹ * a⁻¹ :=
sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(a\) es un elemento de un grupo \(G\), entonces \(a\) tiene un único inverso; es decir, si \(b\) es un elemento de \(G\) tal que \(a·b = 1\), entonces \(a⁻¹ = b\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Basic

variable {G : Type} [Group G]
variable {a b : G}

example
  (h : a * b = 1)
  : a⁻¹ = b :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que un grupo sólo posee un elemento neutro.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Basic

variable {G : Type} [Group G]

example
  (e : G)
  (h : ∀ x, x * e = x)
  : e = 1 :=
sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(G\) es un grupo y \(a \in G\), entonces \[a·1 = a\]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Defs

variable {G : Type _} [Group G]
variable (a b : G)

example : a * 1 = a :=
sorry

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En Lean4, se declara que \(G\) es un grupo mediante la expresión

   variable {G : Type _} [Group G]

Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas

   mul_assoc :    ∀ a b c : G, a * b * c = a * (b * c)
   one_mul :      ∀ a : G, 1 * a = a
   mul_left_inv : ∀ a : G, a⁻¹ * a = 1

Demostrar que si \(G\) es un grupo y \(a \in G\), entonces \[aa⁻¹ = 1\]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Defs

variable {G : Type _} [Group G]
variable (a b : G)

example : a * a⁻¹ = 1 :=
sorry

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