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Reto 26: Producto de una sucesión de límite cero por una acotada
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Reto 25: Si la mezcla de dos sucesiones converge a L, entonces ambas convergen a L
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Reto 24: La sucesión 1, -1, 1, -1,... no es convergente (2ª versión)
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Reto 23: La sucesión constante aₙ = L converge a L
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Lean 4 para matemáticos: guía docente
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Reto 22: Subsucesiones con límites distintos implican no convergencia
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Reto 21: Las subsucesiones tienen el mismo límite que la sucesión
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Reto 20: Si aₙ → L y M es una cota superior de aₙ, entonces L ≤ M
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Reto 19: Las sucesiones convergentes son sucesiones de Cauchy
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Reto 18: Convergencia del producto de sucesiones convergentes
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Reto 17: Las sucesiones convergentes están acotadas
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Reto 16: Para todo n ∈ N, n(n+1)(2n+1) es divisible por 6
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Reto 15: Existe un k ∈ ℕ tal que, para todo n ∈ ℕ, (n + k)² ≤ 2ⁿ⁺ᵏ
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Reto 14: Para todo n ∈ ℕ, 2n + 9 ≤ 2ⁿ⁺⁴
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Reto 13: Desigualdad triangular inversa: ||x| - |y|| ≤ |x - y|
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Reto 12: Si aₙ → L, bₙ → M y L < M, entonces eventualmente aₙ < bₙ
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Reto 11: Si aₙ converge a L, entonces |aₙ| converge a |L|
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Reto 10: Si aₙ → L con L ≠ 0, entonces |aₙ| ≥ |L|/2 eventualmente
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Reto 9: Unicidad del límite
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Reto 8: Sucesiones con infinitos términos grandes no convergen a límites pequeños
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Reto 7: La composición de funciones inyectivas es inyectiva
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Reto 6: Si aₙ y cₙ convergen a L y aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ para todo n, entonces bₙ converge a L
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Reto 5: 5²ⁿ - 2³ⁿ es divisible por 17
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Si a converge a L, entonces (∃ N)(∀ n ≥ N)[aₙ ≥ L - 1]
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Si aₙ converge a L y bₙ a M, entonces aₙ+bₙ converge a L+M.
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Reto 4: Existen infinitos números primos
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Reto 3: Si aₙ converge a L, entonces 2aₙ converge a 2L
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Reto 2: La sucesión 1, -1, 1, -1,... no es convergente
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Reto 1: La sucesión 1/n converge a 0
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Retos de demostración en Lean 4
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Propiedad arquimediana de los números reales
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La sucesión constante aₙ = L converge a L
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Demostraciones de "s ∪ f⁻¹[v] ⊆ f⁻¹[f[s] ∪ v]"
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Demostraciones de "f[s] ∩ v = f[s ∩ f⁻¹[v]]"
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Demostraciones de "f[s ∪ f⁻¹[v]] ⊆ f[s] ∪ v"
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Demostraciones de "f[s] ∩ t = f[s ∩ f⁻¹[t]]"
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Demostraciones de "f[s] \ f[t] ⊆ f[s \ t]"
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Si f es inyectiva, entonces f[s] ∩ f[t] ⊆ f[s ∩ t]
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Demostraciones de "f[s ∩ t] ⊆ f[s] ∩ f[t]"
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Demostraciones de "f⁻¹[A ∪ B] = f⁻¹[A] ∪ f⁻¹[B]"
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Monotonía de la imagen inversa
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Monotonía de la imagen de conjuntos
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Si f es suprayectiva, entonces u ⊆ f[f⁻¹[u]]
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Demostraciones de "f[f⁻¹[u]] ⊆ u"
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Asociatividad de la concatenación de listas
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Pruebas de length (replicate n x) = n
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Si u es una sucesión no decreciente y su límite es a, entonces u(n) ≤ a para todo n
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Las sucesiones divergentes positivas no tienen límites finitos
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Si a es un punto de acumulación de la sucesión de Cauchy u, entonces a es el límite de u
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El punto de acumulación de las sucesiones convergente es su límite
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Las subsucesiones tienen el mismo límite que la sucesión
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Si a es un punto de acumulación de u, entonces (∀ε>0)(∀n∈ℕ)(∃k≥n)[u(k)−a| < ε]
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Las funciones de extracción no están acotadas
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Relación entre los índices de las subsucesiones y de la sucesión
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Las particiones definen relaciones de equivalencia
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Las particiones definen relaciones transitivas
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Las familias de conjuntos definen relaciones simétricas
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Las particiones definen relaciones reflexivas
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El conjunto de las clases de equivalencia es una partición
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Las clases de equivalencia de elementos no relacionados son disjuntas
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Las clases de equivalencia de elementos relacionados son iguales
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Las sucesiones convergentes son sucesiones de Cauchy
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Si g es inyectiva y g ∘ f₁ = g ∘ f₂, entonces f₁ = f₂
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La igualdad de valores es una relación de equivalencia
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La equipotencia es una relación de equivalencia
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La equipotencia es una relación transitiva
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La composición de funciones biyectivas es biyectiva
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La equipotencia es una relación simétrica
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La inversa de una función es biyectiva
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La equipotencia es una relación reflexiva
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Las funciones biyectivas tienen inversa
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Las funciones con inversa son biyectivas
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Las funciones suprayectivas tienen inversa por la derecha
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Las funciones con inversa por la derecha son suprayectivas
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Las funciones inyectivas tienen inversa por la izquierda
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Si g ∘ f es suprayectiva, entonces g es suprayectiva
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Si g ∘ f es inyectiva, entonces f es inyectiva
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Si el límite de la sucesión uₙ es a, entonces el límite de -uₙ es -a
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Las funciones con inversa por la izquierda son inyectivas
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La congruencia módulo 2 es una relación de equivalencia
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Si uₙ está acotada y el límite de vₙ es 0, entonces el límite de uₙ·vₙ es 0
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Si (∀n)[uₙ ≤ vₙ], entonces lim uₙ ≤ lim vₙ
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Si x, y ∈ ℝ tales que (∀ z)[y < z → x ≤ z], entonces x ≤ y
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La paradoja del barbero
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Las sucesiones convergentes están acotadas
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Un número es par si y solo si lo es su cuadrado
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Los supremos de las sucesiones crecientes son sus límites
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Si `f(x) ≤ f(y) → x ≤ y`, entonces f es inyectiva
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Si una función es creciente e involutiva, entonces es la identidad
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La composición de una función creciente y una decreciente es decreciente
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Los monoides booleanos son conmutativos
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Si M es un monoide, a ∈ M y m, n ∈ ℕ, entonces a^(m·n) = (a^m)^n
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Si G es un grupo y a, b, c ∈ G tales que a·b = a·c, entonces b = c
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Si G un grupo y a ∈ G, entonces (a⁻¹)⁻¹ = a
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Si G es un grupo y a, b ∈ G, entonces (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹
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Si G es un grupo y a, b ∈ G tales que ab = 1 entonces a⁻¹ = b
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Unicidad del elemento neutro en los grupos
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Caracterización de producto igual al primer factor
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Unicidad de inversos en monoides
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Equivalencia de inversos iguales al neutro
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Producto de potencias de la misma base en monoides
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En los monoides, los inversos a la izquierda y a la derecha son iguales
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Teorema de Cantor
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Imagen inversa de la intersección general
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Imagen inversa de la unión general
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Imagen de la intersección general mediante aplicaciones inyectivas
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Imagen de la intersección general
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Imagen de la unión general
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Unión con la imagen inversa
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Intersección con la imagen
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Unión con la imagen
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Imagen de la diferencia de conjuntos
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Imagen de la intersección de aplicaciones inyectivas
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Imagen de la intersección
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Imagen inversa de la unión
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Monotonía de la imagen inversa
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Monotonía de la imagen de conjuntos
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Imagen de imagen inversa de aplicaciones suprayectivas
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Imagen de la imagen inversa
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Imagen inversa de la imagen de aplicaciones inyectivas
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Subconjunto de la imagen inversa
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Imagen inversa de la imagen
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Imagen de la unión
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Imagen inversa de la intersección
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Unión con intersección general
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Intersección de intersecciones
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Distributiva de la intersección respecto de la unión general
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Los primos mayores que 2 son impares
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La unión de los pares e impares es el conjunto de los naturales
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Diferencia de unión e intersección
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Unión con su diferencia
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Unión con su intersección
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Conmutatividad de la intersección
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Diferencia de diferencia de conjuntos (2)
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Demostraciones de "(s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u)"
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Diferencia de diferencia de conjuntos
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Propiedad semidistributiva de la intersección sobre la unión
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Propiedad de monotonía de la intersección
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Teorema del emparedado
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Intersección con su unión
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Producto de sucesiones convergentes a cero
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El límite de uₙ es a syss el de uₙ-a es 0
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Si el límite de la sucesión uₙ es a y c ∈ ℝ, entonces el límite de cuₙ es ca
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Si el límite de la sucesión uₙ es a y c ∈ ℝ, entonces el límite de uₙ+c es a+c
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Unicidad del límite de las sucesiones convergentes
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Si la sucesión u converge a a y la v a b, entonces u+v converge a a+b
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La sucesión constante sₙ = c converge a c
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En ℝ, si 1 < a entonces a < aa
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En ℝ, |a| = |a - b + b|
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Las funciones f(x,y) = (x + y)² y g(x,y) = x² + 2xy + y² son iguales
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La raíz cuadrada de 2 es irracional
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Si n² es par, entonces n es par
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Existen infinitos números primos
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Implicación mediante disyunción y negación
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Eliminación de la doble negación
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En ℝ, x² = y² → x = y ∨ x = -y
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En ℝ, si x² = 1 entonces x = 1 ó x = -1
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Si (∃ x, y ∈ ℝ)[z = x² + y² ∨ z = x² + y² + 1], entonces z ≥ 0
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Si m divide a n o a k, entonces m divide a nk.
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En ℝ, si x ≠ 0 entonces x < 0 ó x > 0
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En ℝ, |x + y| ≤ |x| + |y|
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En ℝ, -x ≤ |x|
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En ℝ, x ≤ |x|
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En ℝ, si x < |y|, entonces x < y ó x < -y
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En ℝ, si -y > x² + 1 entonces y > 0 ó y < -1
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En ℝ, si y > x² entonces y > 0 ó y < -1
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Si ≤ es un preorden, entonces < es transitiva
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Si ≤ es un preorden, entonces < es irreflexiva
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En los órdenes parciales, a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b.
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La función x ↦ -x no es monótona creciente
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La función real f no es monótona syss existen x, y tales que x ≤ y y f(x) > f(y)
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3 divide al máximo común divisor de 6 y 15
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Si |x + 3| < 5, entonces -8 < x < 2
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En ℝ, x² + y² = 0 ↔ x = 0 ∧ y = 0
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En ℝ, si x ≤ y, entonces y ≰ x ↔ x ≠ y
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En ℝ, x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ y ≰ x
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Existen números primos m y n tales que 4 < m < n < 10
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Si (∃z ∈ ℝ)[x < z < y], entonces x < y.
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Existe un número real entre 2 y 3
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Si (m ∣ n ∧ m ≠ n), entonces (m ∣ n ∧ ¬(n ∣ m))
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Si x ≤ y y x ≠ y, entonces y ≰ x
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Si x ≤ y y y ≰ x, entonces x ≤ y ∧ x ≠ y
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Si 0 < 0, entonces a > 37 para cualquier número a
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Si f no es monótona, entonces ∃x∃y[x ≤ y ∧ f(y) < f(x)]
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Si ¬(∀a)(∃x)[f(x) > a], entonces f está acotada superiormente
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Si f no está acotada superiormente, entonces (∀a)(∃x)[f(x) > a]
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Introducción de la doble negación
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Eliminación de la doble negación
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Si (∃x)¬P(x), entonces ¬(∀x)P(x)
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Si ¬(∀x)P(x), entonces (∃x)¬P(x)
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Si (∀x)¬P(x), entonces ¬(∃x)P(x).
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Si ¬(∃x)P(x), entonces (∀x)¬P(x)
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Si (∀ε > 0)[x ≤ ε], entonces x ≤ 0
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No para toda f monótona, (∀a,b)[f(a) ≤ f(b) → a ≤ b]
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Si a, b ∈ ℝ tales que a ≤ b y f(b) < f(a), entonces f no es monótona
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Si f es monótona y f(a) < f(b), entonces a < b
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La función identidad no está acotada superiormente
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Si para cada a existe un x tal que f(x) < a, entonces f no tiene cota inferior
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Si para cada a existe un x tal que f(x) > a, entonces f no tiene cota superior
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En ℝ, a < b → ¬(b < a)
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La composición de funciones suprayectivas es suprayectiva
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Si f es una función real suprayectiva, entonces existe x ∈ ℝ tal que f(x)² = 9
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Si c ≠ 0, entonces la función (x ↦ cx + d) es suprayectiva
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Si c ≠ 0, entonces la función (x ↦ cx) es suprayectiva
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La función (x ↦ x + c) es suprayectiva
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Si a divide a b y a c, entonces divide a b+c
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Transitividad de la divisibilidad
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Si x e y son sumas de dos cuadrados, entonces xy también lo es
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Si c ≥ 0 y f está acotada superiormente, entonces c·f también lo está
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Si a es una cota superior de f y c ≥ 0, entonces ca es una cota superior de cf
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La suma de dos funciones acotadas inferiormente también lo está
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La suma de dos funciones acotadas superiormente también lo está
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Hay algún número real entre 2 y 3
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La composición de funciones inyectivas es inyectiva
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Si c ≠ 0, entonces la función (x ↦ cx) es inyectiva
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La función (x ↦ x + c) es inyectiva
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Si a es una cota superior de s y a ≤ b, entonces b es una cota superior de s
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Si r ⊆ s y s ⊆ t, entonces r ⊆ t
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Para cualquier conjunto s, s ⊆ s
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Si f es par y g es impar, entonces (f ∘ g) es par
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El producto de una función par por una impar es impar
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El producto de dos funciones impares es par
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La suma de dos funciones pares es par
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La composición de dos funciones monótonas es monótona
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Si c es no negativo y f es monótona, entonces cf es monótona.
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La suma de dos funciones monótonas es monótona
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Si a es una cota superior no negativa de f y b es una cota superior de la función no negativa g, entonces ab es una cota superior de fg
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El producto de funciones no negativas es no negativo
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La suma de una cota inferior de f y una cota inferior de g es una cota inferior de f+g
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La suma de una cota superior de f y una cota superior de g es una cota superior de f+g
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En ℝ, {0 < ε, ε ≤ 1, |x| < ε, |y| < ε} ⊢ |xy| < ε
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En los espacios métricos, d(x,y) ≥ 0
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En los anillos ordenados, {a ≤ b, 0 ≤ c} ⊢ ac ≤ bc
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En los anillos ordenados, 0 ≤ b - a → a ≤ b
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En los anillos ordenados, a ≤ b → 0 ≤ b - a
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En los retículos, una distributiva del supremos implica la otra
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En los retículos, una distributiva del ínfimo implica la otra
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En los retículos, x ⊔ (x ⊓ y) = x
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En los retículos, x ⊓ (x ⊔ y) = x
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En los retículos, (x ⊔ y) ⊔ z = x ⊔ (y ⊔ z)
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En los retículos, (x ⊓ y) ⊓ z = x ⊓ (y ⊓ z)
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En los retículos, x ⊔ y = y ⊔ x
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En los retículos, x ⊓ y = y ⊓ x
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Conmutatividad del máximo común divisor
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Si x divide a w, entonces también divide a y(xz)+x²+w²
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Si x, y, z ∈ ℕ, entonces x divide a yxz
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En ℝ, |a| - |b| ≤ |a - b|
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En ℝ, min(a,b)+c = min(a+c,b+c)
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En ℝ, min(min(a,b),c) = min(a,min(b,c))
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En ℝ, max(a,b) = max(b,a)
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En ℝ, min(a,b) = min(b,a)
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En ℝ, |ab| ≤ (a²+b²)/2
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En ℝ, 2ab ≤ a² + b²
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En ℝ, si a ≤ b entonces c - e^b ≤ c - e^a
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En ℝ, si a ≤ b, entonces log(1+e^a) ≤ log(1+e^b)
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En ℝ, si d ≤ f, entonces c + e^(a + d) ≤ c + e^(a + f)
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En ℝ, si a ≤ b y c < d, entonces a + eᶜ + f ≤ b + eᵈ + f.
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En ℝ, si 1 ≤ a y b ≤ d, entonces 2 + a + eᵇ ≤ 3a + eᵈ
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En ℝ, si 2a ≤ 3b, 1 ≤ a y c = 2, entonces c + a ≤ 5b
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En ℝ, si a ≤ b, b < c, c ≤ d y d < e, entonces a < e
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Si G es un grupo y a ∈ G, entonces a·1 = a
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Si G es un grupo y a ∈ G, entonces aa⁻¹ = 1
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Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 2a = a+a
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En los anillos, 1 + 1 = 2
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Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a - a = 0
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Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces a - b = a + -b
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Si R es un anillo y a ∈ R, entonces -(-a) = a
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Si R es un anillo, entonces -0 = 0
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Si R es un anillo y a, b ∈ R tales que a+b=0, entonces a=-b
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Si R es un anillo y a, b ∈ R tales que a+b=0, entonces -a=b
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Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 0.a = 0
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Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a.0 = 0
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Si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que a+b=c+b, entonces a=c
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Si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que a+b=a+c, entonces b=c
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Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces (a + b) + -b = a
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Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces -a + (a + b) = b
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Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + -a = 0
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Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + 0 = a
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Si a + b = c, entonces (a + b)(a + b) = ac + bc
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Si c = da + b y b = ad, entonces c = 2ad
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En ℝ, (a+b)(a-b) = a²-b²
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En ℝ, (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
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En ℝ, (a + b)(a + b) = aa + 2ab + bb
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Si c = ba-d y d = ab, entonces c = 0
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Si bc = ef, entonces ((ab)c)d = ((ae)f)d
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Si ab = cd y e = f, entonces a(be) = c(df)
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En ℝ, a(bc) = b(ac)
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En ℝ, (cb)a = b(ac)
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En ℝ, (ab)c = b(ac)
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El producto por un par es par
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Demostraciones de "s ∪ f⁻¹[v] ⊆ f⁻¹[f[s] ∪ v]"
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Intersección con la imagen
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Demostraciones de "f[s] ∩ t = f[s ∩ f⁻¹[t]]"
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Demostraciones de "f[s] \ f[t] ⊆ f[s \ t]"
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Si f es inyectiva, entonces f[s] ∩ f[t] ⊆ f[s ∩ t]
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Demostraciones de "f[s ∩ t] ⊆ f[s] ∩ f[t]"
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Demostraciones de "f⁻¹[A ∪ B] = f⁻¹[A] ∪ f⁻¹[B]"
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Monotonía de la imagen inversa
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Monotonía de la imagen de conjuntos
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Si f es suprayectiva, entonces u ⊆ f[f⁻¹[u]]
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Demostraciones de "f[f⁻¹[u]] ⊆ u"
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Si f es inyectiva, entonces f⁻¹[f[s]] ⊆ s
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Demostraciones de "f[s] ⊆ u ↔ s ⊆ f⁻¹[u]"
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Demostraciones de "s ⊆ f⁻¹(f(s))"
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Demostraciones de "f(s ∪ t) = f(s) ∪ f(t)"
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Demostraciones de "f⁻¹(u ∩ v) = f⁻¹(u) ∩ f⁻¹(v)"
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Demostraciones de "s ∪ (⋂_i A_i) = ⋂_i (A_i ∪ s)"
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Demostraciones de "⋂_i, (A(i) ∩ B(i)) = (⋂_i, A(i)) ∩ (⋂_i, B(i))"
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Demostraciones de "s ∩ ⋃_i A_i = ⋃_i (A_i ∩ s)"
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Los primos mayores que 2 son impares
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La unión del conjunto de los números naturales pares e impares es el conjunto de los naturales
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Demostraciones de "(s \ t) ∪ (t \ s) = (s ∪ t) \ (s ∩ t)"
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Demostraciones de "(s \ t) ∪ t = s ∪ t"
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Demostraciones de "s ∪ (s ∩ t) = s"
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Demostraciones de "s ∩ (s ∪ t) = s"
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Demostraciones de "s ∩ t = t ∩ s"
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Demostraciones de "s \ (t ∪ u) ⊆ (s \ t) \ u"
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Demostraciones de "(s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u)"
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Demostraciones de "(s - t) - u ⊆ s - (t ∪ u)"
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Demostraciones de "s ∩ (t ∪ u) ⊆ (s ∩ t) ∪ (s ∩ u)"
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Demostraciones de "Si s ⊆ t, entonces s ∩ u ⊆ t ∩ u"
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Las relaciones reflexivas y circulares son simétricas
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El problema del barbero
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El problema de los infectados
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La dama o el tigre
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El problema lógico del mal
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Praeclarum theorema
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Teorema de Nicómaco
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Reto f(f(f(b))) = f(b)
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Celebración del día mundial de la lógica
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Día mundial de la lógica