Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_2, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(ϕ\) tal que \(ϕ(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(ϕ\) es una función de extracción por

   def extraccion (ϕ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → ϕ n < ϕ m

Demostrar que las funciones de extracción no están acotadas; es decir, que si \(ϕ\) es una función de extracción, entonces \[ (∀ N, N')(∃ n ≥ N')[ϕ(n) ≥ N] \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
open Nat

variable {ϕ : ℕ → ℕ}

def extraccion (ϕ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → ϕ n < ϕ m

example
  (h : extraccion ϕ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', ϕ n ≥ N :=
by sorry

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Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_2, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(ϕ\) tal que \(ϕ(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(ϕ\) es una función de extracción por

   def extraccion (ϕ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ {n m}, n < m → ϕ n < ϕ m

Demostrarcon Lean4 que si \(ϕ\) es una función de extracción, entonces \[ (∀ n)[n ≤ ϕ(n) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
open Nat

variable {ϕ : ℕ → ℕ}

def extraccion (ϕ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ {n m}, n < m → ϕ n < ϕ m

example :
  extraccion ϕ → ∀ n, n ≤ ϕ n :=
by sorry

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