Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ f[f⁻¹[u]] ⊆ u \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (u : Set β) example : f '' (f⁻¹' u) ⊆ u := by sorry
y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:
theory Imagen_de_la_imagen_inversa imports Main begin lemma "f ` (f -` u) ⊆ u" sorry end
Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que si \(f\) es inyectiva, entonces \(f⁻¹[f[s]] ⊆ s\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set Function variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s : Set α) example (h : Injective f) : f ⁻¹' (f '' s) ⊆ s := by sorry
y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:
theory Imagen_inversa_de_la_imagen_de_aplicaciones_inyectivas imports Main begin lemma assumes "inj f" shows "f -` (f ` s) ⊆ s" sorry end
Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ f[s] ⊆ u ↔ s ⊆ f⁻¹[u] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s : Set α) variable (u : Set β) example : f '' s ⊆ u ↔ s ⊆ f ⁻¹' u := by sorry
y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:
theory Subconjunto_de_la_imagen_inversa imports Main begin lemma "f ` s ⊆ u ⟷ s ⊆ f -` u" sorry end
Demostrar con Lean4 e Isabelle/HOL que si \(s\) es un subconjunto del dominio de la función \(f\), entonces \(s\) está contenido en la imagen inversa de la imagen de \(s\) por \(f\); es decir, \[ s ⊆ f⁻¹[f[s]] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s : Set α) example : s ⊆ f ⁻¹' (f '' s) := by sorry
y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:
theory Imagen_inversa_de_la_imagen imports Main begin lemma "s ⊆ f -` (f ` s)" sorry end
Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ f(s ∪ t) = f(s) ∪ f(t) \] Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s t : Set α) open Set example : f '' (s ∪ t) = f '' s ∪ f '' t := by sorry
y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:
theory Imagen_de_la_union imports Main begin lemma "f ` (s ∪ t) = f ` s ∪ f ` t" sorry end
Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que
f⁻¹(u ∩ v) = f⁻¹(u) ∩ f⁻¹(v)
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (u v : Set β) open Set example : f ⁻¹' (u ∩ v) = f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v := by sorry
y la siguiente teoría de Iasbelle/HOL:
theory Imagen_inversa_de_la_interseccion imports Main begin lemma "f -` (u ∩ v) = f -` u ∩ f -` v" sorry end