Demostrar con Lean4 que si \(s ⊆ t\), entonces \(f[s] ⊆ f[t]\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function import Mathlib.Tactic open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s t : Set α) example (h : s ⊆ t) : f '' s ⊆ f '' t := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(f\) es suprayectiva, entonces \[ u ⊆ f[f⁻¹[u]] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set Function variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (u : Set β) example (h : Surjective f) : u ⊆ f '' (f⁻¹' u) := by sorry
Demostrar con Lean4 que \[ f[f⁻¹[u]] ⊆ u \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (u : Set β) example : f '' (f⁻¹' u) ⊆ u := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(f\) es inyectiva, entonces \(f⁻¹[f[s]] ⊆ s\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set Function variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s : Set α) example (h : Injective f) : f ⁻¹' (f '' s) ⊆ s := by sorry
Demostrar con Lean4 que \[ f[s] ⊆ u ↔ s ⊆ f⁻¹[u] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s : Set α) variable (u : Set β) example : f '' s ⊆ u ↔ s ⊆ f ⁻¹' u := by sorry
Demostrar que si \(s\) es un subconjunto del dominio de la función \(f\), entonces \(s\) está contenido en la imagen inversa de la imagen de \(s\) por \(f\); es decir, \[ s ⊆ f⁻¹[f[s]] \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function open Set variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s : Set α) example : s ⊆ f ⁻¹' (f '' s) := by sorry
En Lean4, la imagen de un conjunto s por una función f se representa por f '' s; es decir,
f '' s = {y | ∃ x, x ∈ s ∧ f x = y}
Demostrar con Lean4 que
f '' (s ∪ t) = f '' s ∪ f '' t
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (s t : Set α) open Set example : f '' (s ∪ t) = f '' s ∪ f '' t := by sorry
En Lean, la imagen inversa de un conjunto s (de elementos de tipo β) por la función f (de tipo α → β) es el conjunto f ⁻¹' s de elementos x (de tipo α) tales que f x ∈ s.
Demostrar con Lean4 que
f ⁻¹' (u ∩ v) = f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Function variable {α β : Type _} variable (f : α → β) variable (u v : Set β) open Set example : f ⁻¹' (u ∩ v) = f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v := by sorry
Demostrar con Lean4 que \[ s ∪ (⋂_i A_i) = ⋂_i (A_i ∪ s) \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Basic import Mathlib.Tactic open Set variable {α : Type} variable (s : Set α) variable (A : ℕ → Set α) example : s ∪ (⋂ i, A i) = ⋂ i, (A i ∪ s) := by sorry
Demostrar con Lean4 que \[ ⋂_i (A_i ∩ B_i) = (⋂_i A_i) ∩ (⋂_i B_i) \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Set.Basic import Mathlib.Tactic open Set variable {α : Type} variable (A B : ℕ → Set α) example : (⋂ i, A i ∩ B i) = (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i) := by sorry