Demostrar con Lean4 que \(¬¬P → P\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable (P : Prop)

example
  (h : ¬¬P)
  : P :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \((∃x)¬P(x)\), entonces \(¬(∀x)P(x)\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable {α : Type _}
variable (P : α → Prop)

example
  (h : ∃ x, ¬ P x)
  : ¬ ∀ x, P x :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(¬(∀x)P(x)\), entonces \((∃x)¬P(x)\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable {α : Type _}
variable (P : α → Prop)

example
  (h : ¬ ∀ x, P x)
  : ∃ x, ¬ P x :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \((∀x)¬P(x)\), entonces \(¬(∃x)P(x)\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable {α : Type _}
variable (P : α → Prop)

example
  (h : ∀ x, ¬ P x)
  : ¬ ∃ x, P x :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(¬(∃x)P(x)\), entonces \((∀x)¬P(x)\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {α : Type _}
variable (P : α → Prop)

example
  (h : ¬ ∃ x, P x)
  : ∀ x, ¬ P x :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \((∀ε > 0)[x ≤ ε]\), entonces \(x ≤ 0\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (x : ℝ)

example
  (h : ∀ ε > 0, x ≤ ε)
  : x ≤ 0 :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que no para toda \(f : ℝ → ℝ\) monótona, \((∀a,b)[f(a) ≤ f(b) → a ≤ b]\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic

example :
  ¬∀ {f : ℝ → ℝ}, Monotone f → ∀ {a b}, f a ≤ f b → a ≤ b :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(a, b ∈ ℝ\) tales que \(a ≤ b\) y \(f(b) < f(a)\), entonces \(f\) no es monótona

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (f : ℝ → ℝ)
variable (a b : ℝ)

example
  (h1 : a ≤ b)
  (h2 : f b < f a)
  : ¬ Monotone f :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(f\) es monótona y \(f(a) < f(b)\), entonces \(a < b\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (f : ℝ → ℝ)
variable (a b : ℝ)

example
  (h1 : Monotone f)
  (h2 : f a < f b)
  : a < b :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que la función identidad no está acotada superiormente.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import src.Funcion_no_acotada_superiormente

example : ¬ acotadaSup (fun x ↦ x) :=
by sorry

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