Demostrar con Lean4 que si \(¬(∃x)P(x)\), entonces \((∀x)¬P(x)\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic variable {α : Type _} variable (P : α → Prop) example (h : ¬ ∃ x, P x) : ∀ x, ¬ P x := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \((∀ε > 0)[x ≤ ε]\), entonces \(x ≤ 0\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (x : ℝ) example (h : ∀ ε > 0, x ≤ ε) : x ≤ 0 := by sorry
Demostrar con Lean4 que no para toda \(f : ℝ → ℝ\) monótona, \((∀a,b)[f(a) ≤ f(b) → a ≤ b]\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic example : ¬∀ {f : ℝ → ℝ}, Monotone f → ∀ {a b}, f a ≤ f b → a ≤ b := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(a, b ∈ ℝ\) tales que \(a ≤ b\) y \(f(b) < f(a)\), entonces \(f\) no es monótona
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f : ℝ → ℝ) variable (a b : ℝ) example (h1 : a ≤ b) (h2 : f b < f a) : ¬ Monotone f := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(f\) es monótona y \(f(a) < f(b)\), entonces \(a < b\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f : ℝ → ℝ) variable (a b : ℝ) example (h1 : Monotone f) (h2 : f a < f b) : a < b := by sorry
Demostrar con Lean4 que la función identidad no está acotada superiormente.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import src.Funcion_no_acotada_superiormente example : ¬ acotadaSup (fun x ↦ x) := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(f\) es una función de \(ℝ\) en \(ℝ\) tal que para cada \(a\) existe un \(x\) tal que \(f(x) < a\), entonces \(f\) no tiene cota inferior.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic def CotaInferior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop := ∀ x, a ≤ f x def acotadaInf (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∃ a, CotaInferior f a variable (f : ℝ → ℝ) example (h : ∀ a, ∃ x, f x < a) : ¬ acotadaInf f := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(f\) es una función de \(ℝ\) en \(ℝ\) tal que para cada \(a\) existe un \(x\) tal que \(f(x) > a\), entonces \(f\) no tiene cota superior.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic def CotaSuperior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop := ∀ x, f x ≤ a def acotadaSup (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∃ a, CotaSuperior f a variable (f : ℝ → ℝ) example (h : ∀ a, ∃ x, f x > a) : ¬ acotadaSup f := by sorry
Demostrar con Lean4 que en \(ℝ\), \(a < b → ¬(b < a)\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (a b : ℝ) example (h : a < b) : ¬ b < a := by sorry
Demostrar con Lean4 que la composición de funciones suprayectivas es suprayectiva.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic open Function variable {α : Type _} {β : Type _} {γ : Type _} variable {f : α → β} {g : β → γ} example (hg : Surjective g) (hf : Surjective f) : Surjective (g ∘ f) := by sorry