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Publicaciones sobre Límites (publicaciones antiguas, página 1)

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Reto 12: Si aₙ → L, bₙ → M y L < M, entonces eventualmente aₙ < bₙ

Retos en Lean 4/Análisis/Límites

Demostrar que si las sucesiones \(a_n\) y \(b_n\) convergen a \(L\) y \(M\), respectivamente, con \(L < M\), entonces eventualmente \(a_n < b_n\); es decir, que existe un \(k ∈ \mathbb{N}\) tal que, para todo \(n ≥ k\), \(a_n < b_n\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ k : ℕ, ∀ n ≥ k, |a n - L| < ε

variable {a b : ℕ → ℝ}
variable {L M : ℝ}

example
  (ha : SeqLim a L)
  (hb : SeqLim b M)
  (hLM : L < M)
  : ∃ k, ∀ n ≥ k, a n < b n :=
by sorry

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Reto 11: Si aₙ converge a L, entonces |aₙ| converge a |L|

Retos en Lean 4/Análisis/Límites

Demostrar que si la sucesión \(a_n\) converge a \(L\), entonces \(|a_n|\) converge a \(|L|\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ k : ℕ, ∀ n ≥ k, |a n - L| < ε

variable {a b : ℕ → ℝ}
variable {L : ℝ}

example
  (ha : SeqLim a L)
  (hb : ∀ n, b n = |a n|)
  : SeqLim b |L| :=
by sorry

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Reto 10: Si aₙ → L con L ≠ 0, entonces |aₙ| ≥ |L|/2 eventualmente

Retos en Lean 4/Análisis/Límites

Demostrar que si una sucesión converge a un límite no nulo, entonces sus términos están eventualmente acotados inferiormente por la mitad del valor absoluto del límite; es decir, si una sucesión \(a_n\) converge a \(L\) con \(L ≠ 0\), entonces existe \(k\) tal que para todo \(n ≥ k\) se tiene que \(|aₙ| ≥ \dfrac{|L|}{2}\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ k : ℕ, ∀ n ≥ k, |a n - L| < ε

variable {a : ℕ → ℝ}
variable {L : ℝ}

example
  (ha : SeqLim a L)
  (hL : L ≠ 0)
  : ∃ k, ∀ n ≥ k, |a n| ≥ |L| / 2 :=
by sorry

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Reto 9: Unicidad del límite

Retos en Lean 4/Análisis/Límites

El reto de esta semana consiste en demostrar en Lean 4 que si una sucesión \(aₙ\) converge tanto a \(L\) como a \(M\), entonces \(L = M\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ k : ℕ, ∀ n ≥ k, |a n - L| < ε

variable {a : ℕ → ℝ}
variable {L M : ℝ}

example
  (hL : SeqLim a L)
  (hM : SeqLim a M)
  : L = M :=
by sorry

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Reto 8: Sucesiones con infinitos términos grandes no convergen a límites pequeños

Retos en Lean 4/Análisis/Límites

Demostrar que una sucesión que posee infinitos términos con valor absoluto superior a 10 no puede converger a un límite cuyo valor absoluto sea menor que 5.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ k : ℕ, ∀ n ≥ k, |a n - L| < ε

variable {a : ℕ → ℝ}
variable {L : ℝ}

example
  (ha : ∀ k, ∃ n ≥ k, |a n| > 10)
  : ¬ ∃ L, SeqLim a L ∧ |L| < 5 :=
by sorry

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Reto 6: Si aₙ y cₙ convergen a L y aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ para todo n, entonces bₙ converge a L

Retos en Lean 4/Análisis/Límites

Demostrar el teorema del emparedado; es decir que si \(a_n\) y \(c_n\) convergen a \(L\) y \(a_n ≤ b_n \leq c_n\) para todo \(n\), entonces \(b_n\) converge a \(L\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {a b c : ℕ → ℝ}
variable {L : ℝ}

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N : ℕ, ∀ n ≥ N, |a n - L| < ε

example
  (ha : SeqLim a L)
  (hc : SeqLim c L)
  (hab : ∀ n, a n ≤ b n)
  (hbc : ∀ n, b n ≤ c n)
  : SeqLim b L := by
  sorry

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Si a converge a L, entonces (∃ N)(∀ n ≥ N)[aₙ ≥ L - 1]

Análisis/Límites

Demostrar que si la sucesión \(a\) converge a \(L\), entonces \[ (∃ N)(∀ n ≥ N)[aₙ ≥ L - 1] \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {a : ℕ → ℝ}
variable {L : ℝ}

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N : ℕ, ∀ n ≥ N, |a n - L| < ε

example
  (ha : SeqLim a L) :
  ∃ N, ∀ n ≥ N, a n ≥ L - 1 :=
by
  sorry

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Si aₙ converge a L y bₙ a M, entonces aₙ+bₙ converge a L+M.

Análisis/Límites

Demostrar que si \(aₙ\) converge a \(L\) y \(bₙ\) a \(M\), entonces \(aₙ+bₙ\) converge a \(L+M\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {a b c : ℕ → ℝ}
variable {L M : ℝ}

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N : ℕ, ∀ n ≥ N, |a n - L| < ε

example
  (ha : SeqLim a L)
  (hb : SeqLim b M)
  : SeqLim (a + b) (L + M) :=
by
  sorry

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Reto 3: Si aₙ converge a L, entonces 2aₙ converge a 2L

Retos en Lean 4/Análisis/Límites

Demostrar con Lean 4 que si la sucesión \(aₙ\) converge a \(L\), entonces \(2aₙ\) converge a \(2L\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {a : ℕ → ℝ}

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N : ℕ, ∀ n ≥ N, |a n - L| < ε

example
  (ha : SeqLim a L)
  (hb : ∀ n, b n = 2 * a n)
  : SeqLim b (2 * L) :=
by
  sorry

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Reto 2: La sucesión 1, -1, 1, -1,... no es convergente

Retos en Lean 4/Análisis/Límites

Demostrar que la sucesión definida por 1, -1, 1, -1,... no converge.

Para ello, se propone completar la siguiente demostración en Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {a : ℕ → ℝ}

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N : ℕ, ∀ n ≥ N, |a n - L| < ε

def SeqConv (a : ℕ → ℝ) : Prop :=
  ∃ L, SeqLim a L

example
  (ha : ∀ n, a n = (-1) ^ n)
  : ¬ SeqConv a :=
by sorry

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