Definir las funciones

capicuas        :: [Integer]
posicionCapicua :: Integer -> Integer

tales que

• capicuas es la sucesión de los números capicúas. Por ejemplo,

λ> take 45 capicuas
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,
 141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,
 303,313,323,333,343,353]
λ> capicuas !! (10^5)
900010009

• (posicionCapicua x) es la posición del número capicúa x en la sucesión de los capicúas. Por ejemplo,

λ> posicionCapicua 353
44
λ> posicionCapicua 900010009
100000
λ> let xs = show (123^30)
λ> posicionCapicua (read (xs ++ reverse xs))
1497912859868342793044999075260564303046944727069807798026337448
λ> posicionCapicua (read (xs ++ "7" ++ reverse xs))
5979128598683427930449990752605643030469447270698077980263374496

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Definir la función

sumasYrestas :: Num a => [a] -> a

tal que (sumasYrestas xs) es el resultado de alternativamente los elementos de xs. Por ejemplo,

sumasYrestas [3,2,4,1,7] = 3 - 2 + 4 - 1 + 7
                         = 11

Otros ejemplos,

sumasYrestas [3,2,4]              ==  5
sumasYrestas [3,2,4,1]            ==  4
sumasYrestas [3,2,4,1,7]          ==  11
sumasYrestas (replicate (10^6) 1) ==  0

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Los dígitos del número 2375 se pueden separar en dos grupos de igual tamaño ([7,2] y [5,3]) tales que para los correspondientes números (72 y 53) se verifique que la diferencia de sus cuadrados sea el número original (es decir, 72^2 - 53^2 = 2375).

Un número x es dorado si sus dígitos se pueden separar en dos grupos de igual tamaño tales que para los correspondientes números (a y b) se verifique que la diferencia de sus cuadrados sea el número original (es decir, b^2 - a^2 = x).

Definir la función

esDorado :: Integer -> Bool

tales que (esDorado x) se verifica si x es un número dorado. Por ejemplo,

λ> esDorado 2375
True
λ> take 5 [x | x <- [1..], esDorado x]
[48,1023,1404,2325,2375]

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La sucesión de cuadrados de orden n definida a partir de un número x se forma iniciándola en x y, para cada término z el siguiente es el número formado por los n primeros dígitos del cuadrado de z. Por ejemplo, para n = 4 y x = 1111, el primer término de la sucesión es 1111, el segundo es 1234 (ya que 1111^2 = 1234321) y el tercero es 1522 (ya que 1234^2 = 1522756).

Definir la función

sucCuadrados :: Int -> Integer -> [Integer]

tal que (sucCuadrados n x) es la sucesión de cuadrados de orden n definida a partir de x. Por ejemplo,

λ> take 10 (sucCuadrados 4 1111)
[1111,1234,1522,2316,5363,2876,8271,6840,4678,2188]
λ> take 10 (sucCuadrados 3 457)
[457,208,432,186,345,119,141,198,392,153]
λ> take 20 (sucCuadrados 2 55)
[55,30,90,81,65,42,17,28,78,60,36,12,14,19,36,12,14,19,36,12]

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Una familia de números es una lista de números tal que todos tienen la misma cantidad de dígitos y, además, dichos números tienen al menos un dígito común.

Por ejemplo, los números 72, 32, 25 y 22 pertenecen a la misma familia ya que son números de dos dígitos y todos tienen el dígito 2, mientras que los números 123, 245 y 568 no pertenecen a la misma familia, ya que no hay un dígito que aparezca en los tres números.

Definir la función

esFamilia :: [Integer] -> Bool

tal que (esFamilia ns) se verifica si ns es una familia de números. Por ejemplo,

esFamilia [72, 32, 25, 22]  ==  True
esFamilia [123,245,568]     ==  False
esFamilia [72, 32, 25, 223] ==  False

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Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

data Arbol a = N a [Arbol a]
  deriving Show

Por ejemplo, los árboles

  1         1             1
 / \       / \           / \
8   3     8   3         8   3
    |        /|\       /|\  |
    4       4 5 6     4 5 6 7

se representan por

ej1, ej2, ej3 :: Arbol Int
ej1 = N 1 [N 8 [],N 3 [N 4 []]]
ej2 = N 1 [N 8 [], N 3 [N 4 [], N 5 [], N 6 []]]
ej3 = N 1 [N 8 [N 4 [], N 5 [], N 6 []], N 3 [N 7 []]]

Un estrato de un árbol es la lista de nodos que se encuentran al mismo nivel de profundidad. Por ejemplo, los estratos del árbol ej1 son [1], [8,3] y [4].

Definir la función

estratos :: Arbol a -> [[a]]

tal que (estratos x) es la lista de los estratos del árbol x. Por ejemplo,

estratos ej1 == [[1],[8,3],[4]]
estratos ej2 == [[1],[8,3],[4,5,6]]
estratos ej3 == [[1],[8,3],[4,5,6,7]]

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Definir la sucesión

sucFinalesFib :: [(Integer,Integer)]

cuyos elementos son los pares (n,x), donde x es el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci, tales que la terminación de x es n. Por ejemplo,

λ> take 6 sucFinalesFib
[(0,0),(1,1),(5,5),(25,75025),(29,514229),(41,165580141)]
λ> head [(n,x) | (n,x) <- sucFinalesFib, n > 200]
(245,712011255569818855923257924200496343807632829750245)
λ> head [n | (n,_) <- sucFinalesFib, n > 10^4]
10945

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Los segmentos de de "abcd" son

["","a","ab","abc","abcd","b","bc","bcd","c","cd","d"]

Los segmentos comunes de "abcd" y "axbce" son

["","a","b","bc","c"]

Los segmentos comunes maximales de "abcd" y "axbce" son

["a","bc"]

Definir la función

segmentosComunesMaximales :: Eq a => [a] -> [a] -> [[a]]

tal que (segmentosComunesMaximales xs ys) es la lista de los segmentos comunes maximales de xs e ys. Por ejemplo,

segmentosComunesMaximales "abcd" "axbce"  ==  ["a","bc"]

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Los números de Perrin se definen por la relación de recurrencia

P(n) = P(n - 2) + P(n - 3) si n > 2,

con los valores iniciales

P(0) = 3, P(1) = 0 y P(2) = 2.

Definir la sucesión

sucPerrin :: [Integer]

cuyos elementos son los números de Perrin. Por ejemplo,

λ> take 15 sucPerrin
[3,0,2,3,2,5,5,7,10,12,17,22,29,39,51]
λ> length (show (sucPerrin !! (2*10^5)))
24425

Comprobar con QuickCheck si se verifica la siguiente propiedad: para todo entero n > 1, el n-ésimo término de la sucesión de Perrin es divisible por n si y sólo si n es primo.

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