Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

data Arbol a = N a [Arbol a]
  deriving Show

Por ejemplo, los árboles

  1         1             1
 / \       / \           / \
8   3     5   3         5   3
    |        /|\       /|\  |
    4       4 7 6     4 7 6 7

se representan por

ej1, ej2, ej3 :: Arbol Int
ej1 = N 1 [N 8 [],N 3 [N 4 []]]
ej2 = N 1 [N 5 [], N 3 [N 4 [], N 7 [], N 6 []]]
ej3 = N 1 [N 5 [N 4 [], N 7 [], N 6 []], N 3 [N 7 []]]

Definir la función

minimaSuma :: Arbol Int -> Int

tal que (minimaSuma a) es el mínimo de las sumas de las ramas del árbol a. Por ejemplo,

minimaSuma ej1  ==  8
minimaSuma ej2  ==  6
minimaSuma ej3  ==  10

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Un entero positivo n es pandigital en base b si su expresión en base b contiene todos los dígitos de 0 a b-1 al menos una vez. Por ejemplo,

• el 2 es pandigital en base 2 porque 2 en base 2 es 10,
• el 11 es pandigital en base 3 porque 11 en base 3 es 102 y
• el 75 es pandigital en base 4 porque 75 en base 4 es 1023.

Un número n es super pandigital de orden m si es pandigital en todas las bases desde 2 hasta m. Por ejemplo, 978 es super pandigital de orden 5 pues

• en base 2 es: 1111010010
• en base 3 es: 1100020
• en base 4 es: 33102
• en base 5 es: 12403

Definir la función

superPandigitales :: Integer -> [Integer]

tal que (superPandigitales m) es la lista de los números super pandigitales de orden m. Por ejemplo,

take 3 (superPandigitales 3) == [11,19,21]
take 3 (superPandigitales 4) == [75,99,114]
take 3 (superPandigitales 5) == [978,1070,1138]

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Definir la lista

ternasCoprimas :: [(Integer,Integer,Integer)]

cuyos elementos son ternas de primos relativos (a,b,c) tales que a < b y a + b == c. Por ejemplo,

λ> take 7 ternasCoprimas
[(1,2,3),(1,3,4),(2,3,5),(1,4,5),(3,4,7),(1,5,6),(2,5,7)]
λ> ternasCoprimas !! 300000
(830,993,1823)

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Se observa que en la cadena "aabbccddeffgg" todos los caracteres están duplicados excepto el 'e'. Al añadirlo obtenemos la lista "aabbccddeeffgg" y se dice que esta última está duplicada.

También se observa que "aaaabbbccccdd" no está duplicada (porque hay un número impar de 'b' consecutivas). Añadiendo una 'b' se obtiene "aaaabbbbccccdd" que está duplicada.

Definir las funciones

esDuplicada :: Eq a => [a] -> Bool
duplica     :: Eq a => [a] -> [a]

tales que

• (esDuplicada xs) se verifica si xs es una lista duplicada. Por ejemplo,

esDuplicada "aabbccddeffgg"   ==  False
esDuplicada "aabbccddeeffgg"  ==  True
esDuplicada "aaaabbbccccdd"   ==  False
esDuplicada "aaaabbbbccccdd"  ==  True

• (duplica xs) es la lista obtenida duplicando los elementos de xs que no lo están. Por ejemplo,

duplica "b"        ==  "bb"
duplica "abba"     ==  "aabbaa"
duplica "Betis"    ==  "BBeettiiss"
duplica [1,1,1]    ==  [1,1,1,1]
duplica [1,1,1,1]  ==  [1,1,1,1]

Comprobar con QuickCheck que, para cualquier lista de enteros xs, se verifica la siguiente propiedad:

esDuplicada (duplica xs)

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Las matrices se pueden representar por listas de lista. Por ejemplo, la matriz

|1 2 5|
|3 0 7|
|9 1 6|
|6 4 2|

se puede representar por

ej :: [[Int]]
ej = [[1,2,5],
      [3,0,7],
      [9,1,6],
      [6,4,2]]

Definir la función

ordenaPorFila :: Ord a => [[a]] -> Int -> [[a]]

tal que (ordenaPorFila xss k) es la matriz obtenida ordenando xs por los elementos de la fila k. Por ejemplo,

ordenaPorFila ej 1  ==  [[2,1,5],[0,3,7],[1,9,6],[4,6,2]]
ordenaPorFila ej 2  ==  [[2,5,1],[0,7,3],[1,6,9],[4,2,6]]
ordenaPorFila ej 3  ==  [[5,2,1],[7,0,3],[6,1,9],[2,4,6]]

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Definir la función

dia :: Int -> Int -> Int -> String

tal que (dia d m a) es el día de la semana correspondiente al día d del mes m del año a. Por ejemplo,

dia 21 12 2016  ==  "Miercoles"
dia 14  4 1936  ==  "Martes"

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Las matrices se pueden representar por listas de lista. Por ejemplo, la matriz

|1 2 5|
|3 0 7|
|9 1 6|
|6 4 2|

se puede representar por

ej :: [[Int]]
ej = [[1,2,5],
      [3,0,7],
      [9,1,6],
      [6,4,2]]

Definir la función

ordenaPor :: Ord a => [[a]] -> Int -> [[a]]

tal que (ordenaPor xss k) es la matriz obtenida ordenando xs por los elementos de la columna k. Por ejemplo,

ordenaPor ej 0  ==  [[1,2,5],[3,0,7],[6,4,2],[9,1,6]]
ordenaPor ej 1  ==  [[3,0,7],[9,1,6],[1,2,5],[6,4,2]]
ordenaPor ej 2  ==  [[6,4,2],[1,2,5],[9,1,6],[3,0,7]]

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Definir la función

seleccion :: Ord a => [a] -> [Int] -> [a]

tal que (seleccion xs ps) es la lista ordenada de los elementos que ocupan las posiciones indicadas en la lista ps. Por ejemplo,

seleccion [6,2,4,7] [2,0]      ==  [4,6]
seleccion ['a'..'z'] [0,2..10] ==  "acegik"

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Un número de la suerte es un número natural que se genera por una criba, similar a la criba de Eratóstenes, como se indica a continuación:

Se comienza con la lista de los números enteros a partir de 1:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25...

Se eliminan los números de dos en dos

1,  3,  5,  7,  9,   11,   13,   15,   17,   19,   21,   23,   25...

Como el segundo número que ha quedado es 3, se eliminan los números restantes de tres en tres:

1,  3,      7,  9,         13,   15,         19,   21,         25...

Como el tercer número que ha quedado es 7, se eliminan los números restantes de siete en siete:

1,  3,      7,  9,         13,   15,               21,         25...

Este procedimiento se repite indefinidamente y los supervivientes son los números de la suerte:

1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79

Definir la sucesión

numerosDeLaSuerte :: [Int]

cuyos elementos son los números de la suerte. Por ejemplo,

λ> take 20 numerosDeLaSuerte
[1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79]
λ> numerosDeLaSuerte !! 1500
13995

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Se dice que k es una posición de equilibrio de una lista xs si la suma de los elementos de xs en las posiciones menores que k es igual a la suma de los elementos de xs en las posiciones mayores que k. Por ejemplo, en la lista [-7,1,5,2,-4,3,0] el 3 es una posición de equilibrio ya que -7+1+5 = -4+3+0; también lo es el 6 ya que -7+1+5+2+(-4)+3 = 0.

Definir la función,

equilibrios :: (Num a, Eq a) => [a] -> [Int]

tal que (equilibrios xs) es la lista de las posiciones de equilibrio de xs. Por ejemplo,

equilibrios [-7,1,5,2,-4,3,0]  ==  [3,6]
equilibrios [1..10^6]          ==  []

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