La integral definida de una función \( f \) entre los límites \( a \) y \( b \) puede calcularse mediante la regla del rectángulo usando la fórmula \[ h \cdot \left( f\left(a + \frac{h}{2}\right) + f\left(a + h + \frac{h}{2}\right) + f\left(a + 2h + \frac{h}{2}\right) + \cdots + f\left(a + nh + \frac{h}{2}\right) \right) \] con \[ a+nh+\frac{h}{2} \leq b < a+(n+1)h+\frac{h}{2} \] y usando valores pequeños para \( h \).

Definir la función

integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a

tal que (integral a b f h) es el valor de dicha expresión. Por ejemplo, el cálculo de la integral de f(x) = x^3 entre 0 y 1, con paso 0.01, es

integral 0 1 (^3) 0.01  ==  0.24998750000000042

Otros ejemplos son

integral 0 1 (^4) 0.01                        ==  0.19998333362500048
integral 0 1 (\x -> 3*x^2 + 4*x^3) 0.01       ==  1.9999250000000026
log 2 - integral 1 2 (\x -> 1/x) 0.01         ==  3.124931644782336e-6
pi - 4 * integral 0 1 (\x -> 1/(x^2+1)) 0.01  ==  -8.333333331389525e-6

Leer más…

El método de bisección para calcular un cero de una función en el intervalo [a,b] se basa en el teorema de Bolzano:

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c en (a, b) para el que f(c) = 0".

El método para calcular un cero de la función f en el intervalo [a,b] con un error menor que e consiste en tomar el punto medio del intervalo c = (a+b)/2 y considerar los siguientes casos:

• Si |f(c)| < e, hemos encontrado una aproximación del punto que anula f en el intervalo con un error aceptable.
• Si f(c) tiene signo distinto de f(a), repetir el proceso en el intervalo [a,c].
• Si no, repetir el proceso en el intervalo [c,b].

Definir la función

biseccion :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double

tal que (biseccion f a b e) es una aproximación del punto del intervalo [a,b] en el que se anula la función f, con un error menor que e, calculada mediante el método de la bisección. Por ejemplo,

biseccion (\x -> x^2 - 3) 0 5 0.01             ==  1.7333984375
biseccion (\x -> x^3 - x - 2) 0 4 0.01         ==  1.521484375
biseccion cos 0 2 0.01                         ==  1.5625
biseccion (\x -> log (50-x) - 4) (-10) 3 0.01  ==  -5.125

Leer más…

Definir las funciones

particionesCuadradas :: Integer -> [[Integer]]
nParticionesCuadradas :: Integer -> Integer
graficaParticionesCuadradas :: Integer -> IO ()

tales que

• (particionesCuadradas n) es la listas de conjuntos de cuadrados cuya suma es n. Por ejemplo,

particionesCuadradas 3  ==  [[1,1,1]]
particionesCuadradas 4  ==  [[4],[1,1,1,1]]
particionesCuadradas 9  ==  [[9],[4,4,1],[4,1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1,1,1,1,1]]

• (nParticionesCuadradas n) es el número de conjuntos de cuadrados cuya suma es n. Por ejemplo,

nParticionesCuadradas 3    ==  1
nParticionesCuadradas 4    ==  2
nParticionesCuadradas 9    ==  4
nParticionesCuadradas 50   ==  104
nParticionesCuadradas 100  ==  1116
nParticionesCuadradas 200  ==  27482

• (graficaParticionesCuadradas n) dibuja la gráfica de la sucesión

[nParticionesCuadradas k | k <- [0..n]]

Por ejemplo, con (graficaParticionesCuadradas 100) se obtiene

Leer más…

Un número n es automórfico si los últimos dígitos de su cuadrado son los dígitos de n. Por ejemplo, 5, 6, 76 y 890625 son números automórficos ya que 5² = 25, 6² = 36, 76² = 5776 y 890625² = 793212890625.

Definir la sucesión

automorficos :: [Integer]

tal que sus elementos son los números automórficos. Por ejemplo,

λ> take 11 automorficos
[1,5,6,25,76,376,625,9376,90625,109376,890625]
λ> automorficos !! 30
56259918212890625

Leer más…

Los primeros números de la forma p²+q³+r⁴, con p, q y r primos son

28 = 2² + 2³ + 2⁴
33 = 3² + 2³ + 2⁴
47 = 2² + 3³ + 2⁴
49 = 5² + 2³ + 2⁴

Definir la sucesión

sumas3potencias :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden escribir de la forma p²+q³+r⁴, con p, q y r primos. Por ejemplo,

λ> take 15 sumas3potencias
[28,33,47,49,52,68,73,92,93,98,112,114,117,133,138]
λ> sumas3potencias !! 234567
8953761

Leer más…

Se observa que todos los primeros números naturales tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado solamente por ceros y unos. Por ejemplo, 1x10=10, 2x5=10, 3x37=111, 4x25=100, 5x2=10, 6x185=1110; 7x143=1001; 8X125=1000; 9x12345679=111111111.

Definir la función

multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

tal que (multiplosCon1y0 n) es la lista de los múltiplos de n cuyos dígitos son 1 ó 0. Por ejemplo,

take 4 (multiplosCon1y0 3)      ==  [111,1011,1101,1110]
take 3 (multiplosCon1y0 23)     ==  [110101,1011011,1101010]
head (multiplosCon1y0 1234658)  ==  110101101101000000110

Comprobar con QuickCheck que todo entero positivo tiene algún múltiplo cuyos dígitos son 1 ó 0.

Leer más…

Dadas dos listas de valores

xs = [x(1), x(2), ..., x(n)]
ys = [y(1), y(2), ..., y(n)]

la ecuación de la recta de regresión de ys sobre xs es y = a+bx, donde \[ b = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - \left( \sum x_i \right)^2} \]

\[ a = \frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n} \]

Definir la función

regresionLineal :: [Double] -> [Double] -> (Double,Double)

tal que (regresionLineal xs ys) es el par (a,b) de los coeficientes de la recta de regresión de ys sobre xs. Por ejemplo, para los valores

ejX, ejY :: [Double]
ejX = [5,  7, 10, 12, 16, 20, 23, 27, 19, 14]
ejY = [9, 11, 15, 16, 20, 24, 27, 29, 22, 20]

se tiene

λ> regresionLineal ejX ejY
(5.195045748716805,0.9218924347243919)

Definir el procedimiento

grafica :: [Double] -> [Double] -> IO ()

tal que (grafica xs ys) pinte los puntos correspondientes a las listas de valores xs e ys y su recta de regresión. Por ejemplo, con (grafica ejX ejY) se obtiene el siguiente dibujo

Leer más…

El enunciado del problema 652 de Números y algo más es el siguiente

Si factorizamos los factoriales de un número en función de sus divisores primos y sus potencias, ¿Cuál es el menor número n tal que entre los factores primos y los exponentes de estos, n! contiene los dígitos del cero al nueve? Por ejemplo

• 6! = 2⁴x3²x5¹, le faltan los dígitos 0,6,7,8 y 9
• 12! = 2¹⁰x3⁵x5²x7¹x11¹, le faltan los dígitos 4,6,8 y 9

Definir la función

digitosDeFactorizacion :: Integer -> [Integer]

tal que (digitosDeFactorizacion n) es el conjunto de los dígitos que aparecen en la factorización de n. Por ejemplo,

digitosDeFactorizacion (factorial 6)   ==  [1,2,3,4,5]
digitosDeFactorizacion (factorial 12)  ==  [0,1,2,3,5,7]

Usando la función anterior, calcular la solución del problema.

Comprobar con QuickCheck que si n es mayor que 100, entonces

digitosDeFactorizacion (factorial n) == [0..9]

Leer más…

Los números de Pentanacci se definen mediante las ecuaciones

P(0) = 0
P(1) = 1
P(2) = 1
P(3) = 2
P(4) = 4
P(n) = P(n-1) + P(n-2) + P(n-3) + P(n-4) + P(n-5), si n > 4

Los primeros números de Pentanacci son

0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, ...

Se observa que

• hasta P(5) hay 1 impar: el 1 (aunque aparece dos veces);
• hasta P(7) hay 2 impares distintos: 1 y 31;
• hasta P(10) hay 3 impares distintos: 1, 31 y 61;
• hasta P(15) hay 5 impares distintos: 1, 31 y 61, 1793 y 3525.

Definir la función

nPentanacciImpares :: Integer -> Integer

tal que (nPentanacciImpares n) es la cantidad de números impares distintos desde P(0) hasta P(n). Por ejemplo,

nPentanacciImpares 5                             ==  1
nPentanacciImpares 7                             ==  2
nPentanacciImpares 10                            ==  3
nPentanacciImpares 15                            ==  5
nPentanacciImpares 100                           ==  33
nPentanacciImpares 1000                          ==  333
nPentanacciImpares 10000                         ==  3333
nPentanacciImpares (10^(10^6)) `mod` (10^9)      ==  333333333
length (show (nPentanacciImpares2 (10^(10^6))))  ==  1000000

Leer más…

Los números de Fibonacci se definen mediante las ecuaciones

F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2), si n > 1

Los primeros números de Fibonacci son

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

Una generalización de los anteriores son los números de Pentanacci definidos por las siguientes ecuaciones

P(0) = 0
P(1) = 1
P(2) = 1
P(3) = 2
P(4) = 4
P(n) = P(n-1) + P(n-2) + P(n-3) + P(n-4) + P(n-5), si n > 4

Los primeros números de Pentanacci son

0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, ...

Definir la sucesión

pentanacci :: [Integer]

cuyos elementos son los números de Pentanacci. Por ejemplo,

λ> take 15 pentanacci
[0,1,1,2,4,8,16,31,61,120,236,464,912,1793,3525]
λ> (pentanacci !! 70000) `mod` (10^30)
231437922897686901289110700696
λ> length (show (pentanacci !! 70000))
20550

Leer más…