Definir la función
puntos :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tal que (puntos n) es la lista de los puntos (x,y) con coordenadas enteras de la cuadrícula [1..n]x[1..n] (es decir, 1 ≤ x,y ≤ n) tales que |x²-xy-y²| = 1. Por ejemplo,
length (puntos 10) == 5 length (puntos 100) == 10 length (puntos 1000) == 15 length (puntos (10^50000)) == 239249
Un entero positivo n es un número práctico si todos los enteros positivos menores que él se pueden expresar como suma de distintos divisores de n. Por ejemplo, el 12 es un número práctico, ya que todos los enteros positivos menores que 12 se pueden expresar como suma de divisores de 12 (1, 2, 3, 4 y 6) sin usar ningún divisor más de una vez en cada suma:
1 = 1 2 = 2 3 = 3 4 = 4 5 = 2 + 3 6 = 6 7 = 1 + 6 8 = 2 + 6 9 = 3 + 6 10 = 4 + 6 11 = 1 + 4 + 6
En cambio, 14 no es un número práctico ya que 6 no se puede escribir como suma, con sumandos distintos, de divisores de 14.
Definir la función
esPractico :: Integer -> Bool
tal que (esPractico n) se verifica si n es un número práctico. Por ejemplo,
esPractico 12 == True esPractico 14 == False esPractico 2016 == True esPractico 42535295865117307932921825928971026432 == True
Definir las funciones
sumaRedondeos :: Integer -> [Integer] limiteSumaRedondeos :: Integer -> Integer
tales que
redondeo (n/2) + redondeo (n/4) + ... + redondeo (n/2^k)
Por ejemplo,
take 5 (sumaRedondeos 1000) == [500,750,875,937,968]
redondeo (n/2) + redondeo (n/4) + redondeo (n/8) + ...
Por ejemplo,
limiteSumaRedondeos1 2000 == 1999 limiteSumaRedondeos1 2016 == 2016 limiteSumaRedondeos5 (10^308) `mod` (10^10) == 123839487
Definir la función
optimos :: Eq b => (b -> b -> Bool) -> (a -> b) -> [a] -> [a]
tal que (optimos r f xs) es la lista de los elementos de xs donde la función f alcanza sus valores óptimos respecto de la relación r. Por ejemplo,
optimos (<) length ["ab","c","de","f"] == ["c","f"] optimos (>) length ["ab","c","de","f"] == ["ab","de"]
Definir la función
maximales :: Eq a => (a -> a -> Bool) -> [a] -> [a]
tal que (maximales r xs) es la lista de los elementos de xs para los que no hay ningún otro elemento de xs mayor según la relación r. Por ejemplo,
maximales (>) [2,3,4,6] == [6] maximales (<) [2,3,4,6] == [2] maximales (\x y -> mod x y == 0) [2,3,4,6] == [4,6] maximales (\x y -> mod y x == 0) [2,3,4,6] == [2,3]
Definir la función
esAnterior :: Eq a => [a] -> a -> a -> Bool
tal que (esAnterior xs y z) se verifica si y ocurre en xs antes que z (que puede no pertenecer a xs). Por ejemplo,
esAnterior [1,3,7,2] 3 2 == True esAnterior [1,3,7,2] 3 1 == False esAnterior [1,3,7,2] 3 5 == True esAnterior [1,3,7,2] 5 3 == False
Definir la función
todosPares :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]
tal que (todosPares f xs ys) es el resultado de aplicar la operación f a todos los pares de xs e ys. Por ejemplo,
todosPares (*) [2,3,5] [7,11] == [14,22,21,33,35,55] todosPares (\x y -> x:show y) "ab" [7,5] == ["a7","a5","b7","b5"]
Definir la función
inserta :: [a] -> [[a]] -> [[a]]
tal que (inserta xs yss) es la lista obtenida insertando
y así sucesivamente. Por ejemplo,
inserta [1,2,3] [[4,7],[6],[9,5,8]] == [[1,4,7],[6,2],[9,5,3,8]] inserta [1,2,3] [[4,7],[] ,[9,5,8]] == [[1,4,7],[], [9,5,3,8]] inserta [1,2] [[4,7],[6],[9,5,8]] == [[1,4,7],[6,2],[9,5,8]] inserta [1,2,3] [[4,7],[6]] == [[1,4,7],[6,2]] inserta "tad" ["odo","pra","naa"] == ["todo","para","nada"]
Definir el procedimiento
arbol :: Int -> IO ()
tal que (arbol n) dibuja el árbol de Navidad con una copa de altura n y un tronco de altura la mitad de n. Por ejemplo,
λ> arbol 5 X XXX XXXXX XXXXXXX XXXXXXXXX X X λ> arbol 6 X XXX XXXXX XXXXXXX XXXXXXXXX XXXXXXXXXXX X X X λ> arbol 7 X XXX XXXXX XXXXXXX XXXXXXXXX XXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXX X X X
Definir la función
siembra :: [Int] -> [Int]
tal que (siembra xs) es la lista ys obtenida al repartir cada elemento x de la lista xs poniendo un 1 en las x siguientes posiciones de la lista ys. Por ejemplo,
siembra [4] == [0,1,1,1,1] siembra [0,2] == [0,0,1,1] siembra [4,2] == [0,1,2,2,1]
El tercer ejemplo se obtiene sumando la siembra de 4 en la posición 0 (como el ejemplo 1) y el 2 en la posición 1 (como el ejemplo 2). Otros ejemplos son
siembra [0,4,2] == [0,0,1,2,2,1] siembra [3] == [0,1,1,1] siembra [3,4,2] == [0,1,2,3,2,1] siembra [3,2,1] == [0,1,2,3] sum $ siembra [1..2500] == 3126250
Comprobar con QuickCheck que la suma de los elementos de (siembra xs) es igual que la suma de los de xs.
Nota: Se supone que el argumento es una lista de números no negativos y que se puede ampliar tanto como sea necesario para repartir los elementos.