Definir la función
productoInfinito :: [Int] -> [Int]
tal que (productoInfinito xs) es la lista infinita que en la posición N tiene el producto de los N primeros elementos de la lista infinita xs. Por ejemplo,
take 5 (productoInfinito [1..]) == [1,2,6,24,120] take 5 (productoInfinito [2,4..]) == [2,8,48,384,3840] take 5 (productoInfinito [1,3..]) == [1,3,15,105,945]
Nota: Este ejercicio es parte del examen del grupo 3 del 2 de diciembre.
Una lista hermanada es una lista de números estrictamente positivos en la que cada elemento tiene algún factor primo en común con el siguiente, en caso de que exista, o alguno de los dos es un 1. Por ejemplo,
Definir la función
hermanada :: [Int] -> Bool
tal que (hermanada xs) se verifica si la lista xs es hermanada según la definición anterior. Por ejemplo,
hermanada [2,6,3,9,1,5] == True hermanada [2,3,5] == False hermanada [2,4..1000000] == True
Nota: Este ejercicio es parte del examen del grupo 3 del 2 de diciembre.
Un número natural n es una potencia perfecta si existen dos números naturales m > 1 y k > 1 tales que n = m^k. Las primeras potencias perfectas son
4 = 2², 8 = 2³, 9 = 3², 16 = 2⁴, 25 = 5², 27 = 3³, 32 = 2⁵, 36 = 6², 49 = 7², 64 = 2⁶, ...
Definir la sucesión
potenciasPerfectas :: [Integer]
cuyos términos son las potencias perfectas. Por ejemplo,
take 10 potenciasPerfectas == [4,8,9,16,25,27,32,36,49,64] potenciasPerfectas !! 100 == 6724
Definir el procedimiento
grafica :: Int -> IO ()
tal que (grafica n) es la representación gráfica de las n primeras potencias perfectas. Por ejemplo, para (grafica 30) dibuja
!Potencias perfectas](/images/Potencias_perfectas.png)
Definir la función
sumaEnPosicion :: [Int] -> [Int] -> Int
tal que (sumaEnPosicion xs ys) es la suma de todos los elementos de xs cuyas posiciones se indican en ys. Por ejemplo,
sumaEnPosicion [1,2,3] [0,2] == 4 sumaEnPosicion [4,6,2] [1,3] == 6 sumaEnPosicion [3,5,1] [0,1] == 8
Definir la función
factorizable :: Integer -> [Integer] -> Bool
tal que (factorizable x ys) se verifica si x se puede escribir como producto de potencias de elementos de ys. Por ejemplo,
factorizable 1 [2,5,6] == True factorizable 12 [2,5,3] == True factorizable 12 [2,5,6] == True factorizable 12 [7,5,12] == True factorizable 12 [2,3,1] == True factorizable 12 [2,3,0] == True factorizable 24 [12,4,6] == True factorizable 0 [2,3,0] == True factorizable 12 [5,6] == False factorizable 12 [2,5,1] == False factorizable 0 [2,3,5] == False factorizable (product [1..3000]) [1..100000] == True factorizable (1 + product [1..3000]) [1..100000] == False
El año 2016 será un año cúbico porque se puede escribir como la suma de los cubos de 7 números consecutivos; en efecto,
2016 = 3³+ 4³ +...+ 9³
Definir la función
esCubico :: Integer -> Bool
tal que (esCubico x) se verifica si x se puede escribir como la suma de los cubos de 7 números consecutivos. Por ejemplo,
esCubico 2016 == True esCubico 2017 == False esCubico 189005670081900441 == True esCubico 189005670081900442 == False
Un primo con cubo es un número primo p para el que existe algún entero positivo n tal que la expresión n³ + n²p es un cubo perfecto. Por ejemplo, 19 es un primo con cubo ya que 8³ + 8²×19 = 12³.
Definir la sucesión
primosConCubos :: [Integer]
tal que sus elementos son los primos con cubo. Por ejemplo,
λ> take 6 primosConCubos [7,19,37,61,127,271] λ> length (takeWhile (< 1000000) primosConCubos) 173
Un primo cubano es un número primo que se puede escribir como diferencia de dos cubos consecutivos. Por ejemplo, el 61 es un primo cubano porque es primo y 61 = 5³-4³.
Definir la sucesión
cubanos :: [Integer]
tal que sus elementos son los números cubanos. Por ejemplo,
λ> take 15 cubanos [7,19,37,61,127,271,331,397,547,631,919,1657,1801,1951,2269]
La clausura transitiva de una relación binaria R es la menor relación transitiva que contiene a R. Se puede calcular usando la composición de relaciones. Veamos un ejemplo, en el que (R ∘ S) representa la composición de R y S (definida en el ejercicio del lunes): sea
R = [(1,2),(2,5),(5,6)]
la relación R no es transitiva ya que (1,2) y (1,5) pertenecen a R pero (1,5) no pertenece; sea
R1 = R ∪ (R ∘ R) = [(1,2),(2,5),(5,6),(1,5),(2,6)]
la relación R1 tampoco es transitiva ya que (1,2) y (2,6) pertenecen a R pero (1,6) no pertenece; sea
R2 = R1 ∪ (R1 ∘ R1) = [(1,2),(2,5),(5,6),(1,5),(2,6),(1,6)]
La relación R2 es transitiva y contiene a R. Además, R2 es la clausura transitiva de R.
Definir la función
clausuraTransitiva :: Eq a => Rel a -> Rel a
tal que (clausuraTransitiva r) es la clausura transitiva de r. Por ejemplo,
λ> clausuraTransitiva [(1,2),(2,5),(5,6)] [(1,2),(2,5),(5,6),(1,5),(2,6),(1,6)] λ> clausuraTransitiva [(1,2),(2,5),(5,6),(6,3)] [(1,2),(2,5),(5,6),(6,3),(1,5),(2,6),(5,3),(1,6),(2,3),(1,3)]