Se llaman potencias de Fermi-Dirac a los números de la forma p^(2^k), donde p es un número primo y k es un número natural.
Definir la sucesión
potencias :: [Integer]
cuyos términos sean las potencias de Fermi-Dirac ordenadas de menor a mayor. Por ejemplo,
take 14 potencias == [2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,19,23,25,29] potencias !! 60 == 241 potencias !! (10^6) == 15476303
Dado dos números n y m, decimos que m es un múltiplo especial de n si m es un múltiplo de n y m no tiene ningún factor primo que sea congruente con 1 módulo 3.
Definir la función
multiplosEspecialesCota :: Int -> Int -> [Int]
tal que (multiplosEspecialesCota n k) es la lista ordenada de todos los múltiplos especiales de n que son menores o iguales que k. Por ejemplo,
multiplosEspecialesCota 5 50 == [5,10,15,20,25,30,40,45,50] multiplosEspecialesCota 7 50 == []
Definir la función
minMax :: Ord a => Monticulo a -> Maybe (a,a)
tal que (minMax m) es justamente el par formado por el menor y el mayor elemento de m, si el montículo m es no vacío. Por ejemplo,
minMax (foldr inserta vacio [4,8,2,1,5]) == Just (1,8) minMax (foldr inserta vacio [4]) == Just (4,4) minMax vacio == Nothing
Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de montículo (I1M.Monticulo) que se encuentra aquí.
Dada una relación r sobre un conjunto de números enteros, la matriz asociada a r es una matriz booleana p (cuyos elementos son True o False), tal que p(i,j) = True si y sólo si i está relacionado con j mediante la relación r.
Las relaciones binarias homogéneas y las matrices booleanas se pueden representar por
type Relacion = ([Int],[(Int,Int)]) type Matriz = Array (Int,Int) Bool
Definir la función
matrizRB:: Relacion -> Matriz
tal que (matrizRB r) es la matriz booleana asociada a r. Por ejemplo,
λ> matrizRB ([1..3],[(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)]) array ((1,1),(3,3)) [((1,1),True) ,((1,2),False),((1,3),True), ((2,1),False),((2,2),False),((2,3),False), ((3,1),True) ,((3,2),False),((3,3),True)] λ> matrizRB ([1..3],[(1,3), (3,1)]) array ((1,1),(3,3)) [((1,1),False),((1,2),False),((1,3),True), ((2,1),False),((2,2),False),((2,3),False), ((3,1),True) ,((3,2),False),((3,3),False)] λ> let n = 10^4 in matrizRB3 ([1..n],[(1,n),(n,1)]) ! (n,n) False
Un número n es especial si al unir los dígitos de sus factores primos, se obtienen exactamente los dígitos de n, aunque puede ser en otro orden. Por ejemplo, 1255 es especial, pues los factores primos de 1255 son 5 y 251.
Definir la función
esEspecial :: Integer -> Bool
tal que (esEspecial n) se verifica si un número n es especial. Por ejemplo,
esEspecial 1255 == True esEspecial 125 == False
Comprobar con QuickCheck que todo número primo es especial.
Calcular los 5 primeros números especiales que no son primos.
Dada una lista de números naturales xs, la codificación de Gödel de xs se obtiene multiplicando las potencias de los primos sucesivos, siendo los exponentes los elementos de xs. Por ejemplo, si xs = [6,0,4], la codificación de xs es
2^6 * 3^0 * 5^4 = 64 * 1 * 625 = 40000.
Definir las funciones
codificaG :: [Integer] -> Integer decodificaG :: Integer -> [Integer]
tales que
codificaG [6,0,4] == 40000 codificaG [3,1,1] == 120 codificaG [3,1,0,0,0,0,0,1] == 456 codificaG [1..6] == 4199506113235182750
decodificaG 40000 == [6,0,4] decodificaG 120 == [3,1,1] decodificaG 456 == [3,1,0,0,0,0,0,1] decodificaG 4199506113235182750 == [1,2,3,4,5,6]
Comprobar con QuickCheck que ambas funciones son inversas.
Definir la función
rotacionesNumero :: Integer -> [Integer]
(rotacionesNumero n) es la lista de las rotaciones obtenidas desplazando el primer dígito de n al final. Por ejemplo,
rotacionesNumero 325 == [325,253,532]
Definir las funciones
agrupa :: Eq a => [a] -> [(a,Int)] expande :: [(a,Int)] -> [a]
tales que
agrupa "aaabzzaa" == [('a',3),('b',1),('z',2),('a',2)]
expande [('a',2),('b',3),('a',1)] == "aabbba"
Comprobar con QuickCheck que dada una lista de enteros, si se la agrupa y después se expande se obtiene la lista inicial.
Una colección de puntos son colineales si esxiste una línea recta tal que todos están en dicha línea. Por ejemplo, los puntos (2,1), (5,7), (4,5) y (20,37) son colineales porque pertenecen a la línea y = 2*x-3.
Definir la función
colineales :: [(Int,Int)] -> Bool
tal que (colineales ps) se verifica si los puntos de la lista ps son colineales. Por ejemplo,
colineales [(2,1),(5,7),(4,5),(20,37)] == True colineales [(2,1),(5,7),(4,5),(21,37)] == False
Un número es capicúa si es igual leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; por ejemplo, el 4884.
El transformado "invierte y suma" de un número x es la suma de x y su número invertido; es decir, el número resultante de la inversión del orden en el que aparecen sus dígitos. Por ejemplo, el transformado de 124 es 124 + 421 = 545.
Se aplica la transformación "invierte y suma" hasta obtener un capicúa. Por ejemplo, partiendo del número 87, el proceso es
87 + 78 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884
El número de pasos de dicho proceso es la distancia capicúa del número; por ejemplo, la distancia capicúa de 87 es 4.
Definir la función
distanciaIS :: Integer -> Integer
tal que (distanciaIS x) es la distancia capicúa de x. Por ejemplo,
distanciaIS 11 == 0 distanciaIS 10 == 1 distanciaIS 19 == 2 distanciaIS 59 == 3 distanciaIS 69 == 4 distanciaIS 166 == 5 distanciaIS 79 == 6 distanciaIS 89 == 24 distanciaIS 10911 == 55 distanciaIS 1000000079994144385 == 259