Un primo circular es un número tal que todas las rotaciones de sus dígitos producen números primos. Por ejemplo, 195 es un primo circular ya que las rotaciones de sus dígitos son 197, 971 y 719 y los tres números son primos.
Definir la constante
circulares :: [Integer]
cuyo valor es la lista de los números primos circulares. Por ejemplo,
take 12 circulares == [2,3,5,7,11,13,17,31,37,71,73,79] circulares !! 50 == 939193
Definir la función
frecuencias :: Ord a => [a] -> Map a Int
tal que (frecuencias xs) es el diccionario formado por los elementos de xs junto con el número de veces que aparecen en xs. Por ejemplo,
λ> frecuencias "sosos" fromList [('o',2),('s',3)] λ> frecuencias (show (10^100)) fromList [('0',100),('1',1)] λ> frecuencias (take (10^6) (cycle "abc")) fromList [('a',333334),('b',333333),('c',333333)] λ> size (frecuencias (take (10^6) (cycle [1..10^6]))) 1000000
Una fracción x/y es cancelativa si se cumplen las siguientes condiciones:
Por ejemplo, 16/64 es cancelativa ya que borrando el 6 en el numerador y el denominador se obtiene 1/4 que es igual a la original: 16/64 = 1/4.
Definir la función
cancelativas :: Int -> Int -> [((Int, Int), (Int, Int))]
tal que (cancelativas m n) es la lista de las fracciones cancelativas con su denominador entre m y n. Por ejemplo,
λ> cancelativas 1 100 [((16,64),(1,4)),((26,65),(2,5)),((19,95),(1,5)),((49,98),(4,8))] λ> cancelativas 101 150 [((22,121),(2,11)),((33,132),(3,12)),((34,136),(4,16)),((44,143),(4,13))] λ> length (cancelativas 1 200) 18
Un camino es una sucesión de pasos en una de las cuatros direcciones Norte, Sur, Este, Oeste. Ir en una dirección y a continuación en la opuesta es un esfuerzo que se puede reducir, Por ejemplo, el camino [Norte,Sur,Este,Sur] se puede reducir a [Este,Sur].
Un camino se dice que es reducido si no tiene dos pasos consecutivos en direcciones opuesta. Por ejemplo, [Este,Sur] es reducido y [Norte,Sur,Este,Sur] no lo es.
En Haskell, las direcciones y los caminos se pueden definir por
data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq) type Camino = [Direccion]
Definir la función
reducido :: Camino -> Camino
tal que (reducido ds) es el camino reducido equivalente al camino ds. Por ejemplo,
reducido [] == [] reducido [N] == [N] reducido [N,O] == [N,O] reducido [N,O,E] == [N] reducido [N,O,E,S] == [] reducido [N,O,S,E] == [N,O,S,E] reducido [S,S,S,N,N,N] == [] reducido [N,S,S,E,O,N] == [] reducido [N,S,S,E,O,N,O] == [O] reducido (take (10^7) (cycle [N,E,O,S])) == []
Nótese que en el penúltimo ejemplo las reducciones son
[N,S,S,E,O,N,O] --> [S,E,O,N,O] --> [S,N,O] --> [O]
Los números racionales se pueden representar como pares de enteros:
type Racional a = (a,a)
Definir la función
reducida :: Integral a => [Racional a] -> [Racional a]
tal que (reducida xs) es la lista de los números racionales donde cada uno es igual al correspondiente elemento de xs y el denominador de todos los elementos de (reducida xs) es el menor número que cumple dicha condición; es decir, si xs es la lista
[(x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)]
entonces (reducida xs) es
[(z_1, d), ..., (z_n, d)]
tales que
z_1/d = x_1/y_1, ..., z_n/d = x_n/y_n
y d es el menor posible. Por ejemplo,
reducida [(1,2),(1,3),(1,4)] == [(6,12),(4,12),(3,12)] reducida [(1,2),(1,3),(6,4)] == [(3,6),(2,6),(9,6)] reducida [(-7,6),(-10,-8)] == [(-14,12),(15,12)] reducida [(8,12)] == [(2,3)]
Definir la funciones
sumas :: Int -> [[Int]] nSumas :: Int -> Integer
tales que
sumas 1 == [[1]] sumas 2 == [[1,1],[2]] sumas 3 == [[1,1,1],[1,2],[2,1]] sumas 4 == [[1,1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[2,1,1],[2,2]] length (sumas 26) == 196418 length (sumas 33) == 5702887
nSumas 4 == 5 nSumas 123 == 36726740705505779255899443 length (show (nSumas 123456)) == 25801
Un número primo es hereditario si todos los números obtenidos eliminando dígitos por la derecha o por la izquierda son primos. Por ejemplo, 3797 es hereditario ya que los números obtenidos eliminando dígitos por la derecha son 3797, 379, 37 y 3 y los obtenidos eliminando dígitos por la izquierda son 3797, 797, 97 y 7 y todos ellos son primos.
Definir la sucesión
hereditarios :: [Integer]
cuyos elementos son los números hereditarios. Por ejemplo,
λ> take 15 hereditarios [2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397]
La constante de Champernowne es el número irracional
0.12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334 ...
cuya parte entera es 0 y la parte decimal se obtiene concatenado los números naturales a partir de 1.
Definir la función
productoChampernowne :: [Int] -> Int
tal que (productoChampernowne ns) es el producto de los dígitos de la constante de Champernowne que ocupan las posiciones ns. Por ejemplo,
productoChampernowne [0,1,2] == 6 productoChampernowne [8,20] == 45 productoChampernowne [10^i-1 | i <- [0..7]] == 1470
Se tiene una calle en la que las casas sólo están en un lado de ésta y las casas están numeradas de 1 hasta n, donde n es el número total de casas en la calle. Se dice que el número de una casa es equilibrado si y solamente si la suma de los números de las casas anteriores es igual a la suma de los números posteriores a la casa. Por ejemplo, el número de la 6ª casa, en una calle con 8 casas, es equilibrado ya que
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8
Definir la función
soluciones :: Integer -> Integer -> [(Integer,Integer)]
tal que (soluciones x y) es la lista de pares (a,n) tales que a es el número equilibrado de una casa en una calle con n casas y n está entre x e y. Por ejemplo,
soluciones 1 500 == [(1,1),(6,8),(35,49),(204,288)] soluciones 1000 3000 == [(1189,1681)] soluciones (10^5) (10^6) == [(235416,332928)] soluciones (10^6) (10^7) == [(1372105,1940449)] (fst $ head $ soluciones (10^100) (10^101)) `mod` (10^9) == 763728460 (fst $ head $ soluciones (10^800) (10^1000)) `mod` (10^9) == 311156546
Las torres de Hanói es un rompecabeza que consta de tres postes que llamaremos A, B y C. Hay N discos de distintos tamaños en el poste A, de forma que no hay un disco situado sobre otro de menor tamaño. Los postes B y C están vacíos. Sólo puede moverse un disco a la vez y todos los discos deben de estar ensartados en algún poste. Ningún disco puede situarse sobre otro de menor tamaño. El problema consiste en colocar los N discos en el poste C.
Definir la función
hanoi :: Int -> [String]
tal que (hanoi n) es la lista de los movimientos para resolver el problema de las torres de hanoi con n discos. Por ejemplo,
λ> hanoi 1 ["Mueve el disco 1 de A a C"] λ> hanoi 2 ["Mueve el disco 1 de A a B","Mueve el disco 2 de A a C","Mueve el disco 1 de B a C"] λ> mapM_ putStrLn (hanoi 2) Mueve el disco 1 de A a B Mueve el disco 2 de A a C Mueve el disco 1 de B a C λ> mapM_ putStrLn (hanoi 3) Mueve el disco 1 de A a C Mueve el disco 2 de A a B Mueve el disco 1 de C a B Mueve el disco 3 de A a C Mueve el disco 1 de B a A Mueve el disco 2 de B a C Mueve el disco 1 de A a C