Definir la función
conSuma :: (Eq a, Num a) => [a] -> [[a]] -> [[[a]]]
tal que (conSuma xs yss) es la lista de los vectores de xss cuya suma vectorial es xs. Por ejemplo,
λ> conSuma [9,10,12] [[4,7,3],[3,1,4],[5,3,9],[2,2,5]] [[[4,7,3],[5,3,9]],[[4,7,3],[3,1,4],[2,2,5]]] λ> conSuma [9,11,12] [[4,7,3],[3,1,4],[5,3,9],[2,2,5]] []
Definir la función
sumaVec :: Num a => [[a]] -> [a]
tal que (sumaVec xss) es la suma de los vectores de xss. Por ejemplo,
sumaVec [[4,7,3],[3,1,4],[2,2,5]] == [9,10,12] sumaVec [[4,7],[3,3],[1,4],[2,5]] == [10,19]
Definir la función
ordenaSegun :: Ord b => (a -> b) -> [a] -> [a]
tal que (ordenaSegun f xs) es la lista obtenida ordenando los elementos de xs según sus valores mediante la función f. Por ejemplo,
ordenaSegun abs [-3,2,5,-2] == [2,-2,-3,5] ordenaSegun abs [-3,-2,5,2] == [-2,2,-3,5] ordenaSegun length ["pq","x","mn"] == ["x","pq","mn"] [g 0 | g <- ordenaSegun (\f -> f 4) [(+5),(+2),(+3)]] == [2,3,5]
Comprobar con QuickCheck que (ordenaSegun id) es equivalente a sort.
Los puntos de una cuadrícula se puede representar mediante pares de números enteros
type Punto = (Int,Int)
y las regiones rectangulares mediante el siguiente tipo de dato
data Region = Rectangulo Punto Punto | Union Region Region | Diferencia Region Region deriving (Eq, Show)
donde
Definir la función
puntos :: Region -> [Punto]
tal que (puntos r) es la lista de puntos de la región r. Por ejemplo, usando las regiones definidas por
r0021, r3051, r4162 :: Region r0021 = Rectangulo (0,0) (2,1) r3051 = Rectangulo (3,0) (5,1) r4162 = Rectangulo (4,1) (6,2)
se tiene
λ> puntos r0021 [(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)] λ> puntos r3051 [(3,0),(3,1),(4,0),(4,1),(5,0),(5,1)] λ> puntos r4162 [(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2)] λ> puntos (Union r0021 r3051) [(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(4,0),(4,1),(5,0),(5,1)] λ> puntos (Diferencia r3051 r4162) [(3,0),(3,1),(4,0),(5,0)] λ> puntos (Union (Diferencia r3051 r4162) r4162) [(3,0),(3,1),(4,0),(5,0),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2)]
Comprobar con QuickCheck, usando la función enRegion definida en el ejercicio "Puntos en regiones rectangulares" que (enRegion p r) es equivalente a (p elem puntos r).
Nota: Escribir las soluciones usando la siguiente plantilla que contiene un generador de regiones
import Test.QuickCheck import Control.Monad type Punto = (Int,Int) data Region = Rectangulo Punto Punto | Union Region Region | Diferencia Region Region deriving (Eq, Show) r0021, r3051, r4162 :: Region r0021 = Rectangulo (0,0) (2,1) r3051 = Rectangulo (3,0) (5,1) r4162 = Rectangulo (4,1) (6,2) puntos :: Region -> [Punto] puntos = undefined -- La propiedad es prop_puntos :: Punto -> Region -> Bool prop_puntos p r = undefined -- La comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_puntos -- +++ OK, passed 100 tests. enRegion :: Punto -> Region -> Bool enRegion (x,y) (Rectangulo (x1,y1) (x2,y2)) = x1 <= x && x <= x2 && y1 <= y && y <= y2 enRegion p (Union r1 r2) = enRegion p r1 || enRegion p r2 enRegion p (Diferencia r1 r2) = enRegion p r1 && not (enRegion p r2) -- Generador de regiones: instance Arbitrary Region where arbitrary = sized arb where arb 0 = liftM2 Rectangulo arbitrary arbitrary arb n | n > 0 = oneof [liftM2 Rectangulo arbitrary arbitrary, liftM2 Union sub sub, liftM2 Diferencia sub sub] where sub = arb (n `div` 2)
Un segmento de una lista xs es una sublista de xs formada por elementos consecutivos en la lista. El problema de la máxima suma de segmentos consiste en dada una lista de números enteros calcular el máximo de las sumas de todos los segmentos de la lista. Por ejemplo, para la lista [-1,2,-3,5,-2,1,3,-2,-2,-3,6] la máxima suma de segmentos es 7 que es la suma del segmento [5,-2,1,3] y para la lista [-1,-2,-3] es 0 que es la suma de la lista vacía.
Definir la función
mss :: [Integer] -> Integer
tal que (mss xs) es la máxima suma de los segmentos de xs. Por ejemplo,
mss [-1,2,-3,5,-2,1,3,-2,-2,-3,6] == 7 mss [-1,-2,-3] == 0 mss [1..500] == 125250 mss [1..1000] == 500500 mss [-500..3] == 6 mss [-1000..3] == 6
Definir la función
disjuntas :: Ord a => [a] -> [a] -> Bool
tal que (disjuntas xs ys) se verifica si las listas ordenadas crecientemente xs e ys son disjuntas. Por ejemplo,
disjuntas [2,5] [1,4,7] == True disjuntas [2,5,7] [1,4,7] == False disjuntas [1..1000000] [3000000..4000000] == True
Un triángulo de Herón es un triángulo tal que sus lados y su área son números enteros. Su nombre se debe al matemático griego Herón de Alejandría que descubrió la fórmula para calcular el área de un triángulo a partir de sus lados.
La fórmula de Herón dice que el área de un triángulo cuyos lados miden a, b y c es \[\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] donde s es el semiperímetro del triángulo; es decir, \[s=\frac{a+b+c}{2}\]
Un ejemplo de triángulo de Herón es el triángulo de lados 3, 4 y 5 cuya área es 6. Se puede observar que cualquier triángulo cuyos lados sean múltiplos de 3, 4 y 5 también es de Herón; por ejemplo, el de lados 6, 8 y 10 también lo es.
Se dice que un triángulo de Herón es primitivo si el máximo común divisor de sus lados es 1. Por ejemplo, el de lados 3, 4 y 5 es primitivo; pero el de lados 6, 8 y 10 no lo es.
Definir la sucesión
triangulosHeronPrimitivos :: [(Int,Int,Int)]
tal que sus elementos son los triángulos de Herón primitivos ordenados por su perímetro. Por ejemplo,
λ> take 7 triangulosHeronPrimitivos [(3,4,5),(5,5,6),(5,5,8),(5,12,13),(4,13,15),(10,13,13),(9,10,17)]
Un número pitagórico es un número natural cuyo cuadrado se puede escribir como la suma de los cuadrados de dos números naturales no nulos; es decir, el número natural a es pitagórico si existen dos números naturales b y c distintos de cero tales que a² = b²+c². Por ejemplo, 5 es un número pitagórico ya que 5² = 3²+4² y también lo es 2015 ya que 2015² = 1612²+1209².
Definir la sucesión
pitagoricos :: [Integer]
cuyos elementos son los números pitagóricos. Por ejemplo,
λ> take 20 pitagoricos [5,10,13,15,17,20,25,26,29,30,34,35,37,39,40,41,45,50,51,52]
Calcular la posición de 2015 en la sucesión.
Definir la función
cuadrados :: Int -> Float -> Picture
de forma que (cuadrados n) sea la animación obtenida rotando n cuadrados encajados como se muestra a continuación.
Nota: Escribir las soluciones usando la siguiente plantilla
import Graphics.Gloss import System.IO main :: IO () main = do hSetBuffering stdout NoBuffering putStr "Introduce el numero de cuadrados [1..10]: " n <- readLn animate (InWindow (show n ++ " cuadrados encajados rotando" ) (600,600) (20,20)) white (cuadrados n) cuadrados :: Int -> Float -> Picture cuadrados n t = undefined
Definir la función
cuadrados :: Int -> Picture
tal que (cuadrados n) dibuje n cuadrados encajados como se muestra en las siguientes figuras:
Nota: Escribir las soluciones usando la siguiente plantilla
import Graphics.Gloss import System.IO main :: IO () main = do hSetBuffering stdout NoBuffering putStr "Introduce el numero de cuadrados [1..10]: " n <- readLn display (InWindow (show n ++ " cuadrados encajados" ) (600,600) (20,20)) white (cuadrados n) cuadrados :: Int -> Picture cuadrados n = undefined