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Valor de una expresión vectorial

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Se consideran las expresiones vectoriales formadas por un vector, la suma de dos expresiones vectoriales o el producto de un entero por una expresión vectorial. El siguiente tipo de dato define las expresiones vectoriales

   data ExpV = Vec Int Int
             | Sum ExpV ExpV
             | Mul Int ExpV
     deriving Show

Definir la función

   valorEV :: ExpV -> (Int,Int)

tal que valorEV e es el valorEV de la expresión vectorial e. Por ejemplo,

   valorEV (Vec 1 2)                                  ==  (1,2)
   valorEV (Sum (Vec 1 2) (Vec 3 4))                  ==  (4,6)
   valorEV (Mul 2 (Vec 3 4))                          ==  (6,8)
   valorEV (Mul 2 (Sum (Vec 1 2 ) (Vec 3 4)))         ==  (8,12)
   valorEV (Sum (Mul 2 (Vec 1 2)) (Mul 2 (Vec 3 4)))  ==  (8,12)

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Valor de expresiones aritméticas generales

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Las operaciones de suma, resta y multiplicación se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

   data Op = S | R | M

La expresiones aritméticas con dichas operaciones se pueden representar mediante el siguiente tipo de dato algebraico

   data Expr = C Int
             | A Op Expr Expr

Por ejemplo, la expresión

   (7-3)+(2*5)

se representa por

   A S (A R (C 7) (C 3)) (A M (C 2) (C 5))

Definir la función

   valor :: Expr -> Int

tal que valor e es el valor de la expresión e. Por ejemplo,

   valor (A S (A R (C 7) (C 3)) (A M (C 2) (C 5)))  ==  14
   valor (A M (A R (C 7) (C 3)) (A S (C 2) (C 5)))  ==  28

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Máximos valores de una expresión aritmética

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Las expresiones aritméticas generales se pueden definir usando el siguiente tipo de datos

   data Expr = C Int
             | X
             | S Expr Expr
             | R Expr Expr
             | P Expr Expr
             | E Expr Int
     deriving (Eq, Show)

Por ejemplo, la expresión

   3*x - (x+2)^7

se puede definir por

   R (P (C 3) X) (E (S X (C 2)) 7)

Definir la función

   maximo :: Expr -> [Int] -> (Int,[Int])

tal que maximo e xs es el par formado por el máximo valor de la expresión e para los puntos de xs y en qué puntos alcanza el máximo. Por ejemplo,

   λ> maximo (E (S (C 10) (P (R (C 1) X) X)) 2) [-3..3]
   (100,[0,1])

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Expresiones aritméticas reducibles

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Las expresiones aritméticas con variables pueden representarse usando el siguiente tipo de datos

   data Expr = C Int
             | V Char
             | S Expr Expr
             | P Expr Expr

Por ejemplo, la expresión 2·(a+5) se representa por

   P (C 2) (S (V 'a') (C 5))

Definir la función

   reducible :: Expr -> Bool

tal que reducible a se verifica si a es una expresión reducible; es decir, contiene una operación en la que los dos operandos son números. Por ejemplo,

   reducible (S (C 3) (C 4))             == True
   reducible (S (C 3) (V 'x'))           == False
   reducible (S (C 3) (P (C 4) (C 5)))   == True
   reducible (S (V 'x') (P (C 4) (C 5))) == True
   reducible (S (C 3) (P (V 'x') (C 5))) == False
   reducible (C 3)                       == False
   reducible (V 'x')                     == False

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Sustitución en una expresión aritmética

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Las expresiones aritméticas con variables pueden representarse usando el siguiente tipo de datos

   data Expr = C Int
             | V Char
             | S Expr Expr
             | P Expr Expr
     deriving (Eq, Show)

Por ejemplo, la expresión 2·(a+5) se representa por

   P (C 2) (S (V 'a') (C 5))

Definir la función

   sustitucion :: Expr -> [(Char, Int)] -> Expr

tal que sustitucion e s es la expresión obtenida sustituyendo las variables de la expresión e según se indica en la sustitución s. Por ejemplo,

   λ> sustitucion (P (V 'z') (S (C 3) (V 'x'))) [('x',7),('z',9)]
   P (C 9) (S (C 3) (C 7))
   λ> sustitucion (P (V 'z') (S (C 3) (V 'y'))) [('x',7),('z',9)]
   P (C 9) (S (C 3) (V 'y'))

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Número de sumas en una expresión aritmética

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Las expresiones aritméticas con variables pueden representarse usando el siguiente tipo de datos

   data Expr = C Int
             | V Char
             | S Expr Expr
             | P Expr Expr

Por ejemplo, la expresión 2·(a+5) se representa por

   P (C 2) (S (V 'a') (C 5))

Definir la función

   sumas :: Expr -> Int

tal que sumas e es el número de sumas en la expresión e. Por ejemplo,

   sumas (P (V 'z') (S (C 3) (V 'x')))  ==  1
   sumas (S (V 'z') (S (C 3) (V 'x')))  ==  2
   sumas (P (V 'z') (P (C 3) (V 'x')))  ==  0

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Valor de una expresión aritmética con variables

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Las expresiones aritméticas con variables pueden representarse usando el siguiente tipo de datos

   data Expr = C Int
             | V Char
             | S Expr Expr
             | P Expr Expr

Por ejemplo, la expresión 2·(a+5) se representa por

   P (C 2) (S (V 'a') (C 5))

Definir la función

   valor :: Expr -> [(Char,Int)] -> Int

tal que valor x e es el valor de la expresión x en el entorno e (es decir, el valor de la expresión donde las variables de x se sustituyen por los valores según se indican en el entorno e). Por ejemplo,

   λ> valor (P (C 2) (S (V 'a') (V 'b'))) [('a',2),('b',5)]
   14

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El tipo de las expresiones aritméticas con variables

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

1. El tipo de las expresiones aritméticas con variables en Haskell

La expresión 2*(a+5) puede representarse por

   P (C 2) (S (V 'a') (C 5))

usando el tipo de las expresiones aritméticas con variables definido como se muestra a continuación.

module Expresion_aritmetica_con_variables where

data Expr = C Int
          | V Char
          | S Expr Expr
          | P Expr Expr

2. El tipo de las expresiones aritméticas con variables en Python

La expresión 2*(a+5) puede representarse por

   P(C(2), S(V('a'), C(5)))

usando el tipo de las expresiones aritméticas con variables definido como se muestra a continuación.

from dataclasses import dataclass


@dataclass
class Expr:
    pass

@dataclass
class C(Expr):
    x: int

@dataclass
class V(Expr):
    x: str

@dataclass
class S(Expr):
    x: Expr
    y: Expr

@dataclass
class P(Expr):
    x: Expr
    y: Expr

Número de variables de una expresión aritmética

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Las expresiones aritméticas construidas con una variable (denotada por X), los números enteros y las operaciones de sumar y multiplicar se pueden representar mediante el tipo de datos Expr definido por

   data Expr = X
             | C Int
             | S Expr Expr
             | P Expr Expr

Por ejemplo, la expresión X·(13+X) se representa por

   P X (S (C 13) X)

Definir la función

   numVars :: Expr -> Int

tal que numVars e es el número de variables en la expresión e. Por ejemplo,

   numVars (C 3)               ==  0
   numVars X                   ==  1
   numVars (P X (S (C 13) X))  ==  2

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Valor de una expresión aritmética con una variable

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Las expresiones aritméticas construidas con una variable (denotada por X), los números enteros y las operaciones de sumar y multiplicar se pueden representar mediante el tipo de datos Expr definido por

   data Expr = X
             | C Int
             | S Expr Expr
             | P Expr Expr

Por ejemplo, la expresión X·(13+X) se representa por

   P X (S (C 13) X)

Definir la función

   valor :: Expr -> Int -> Int

tal que valor e n es el valor de la expresión e cuando se sustituye su variable por n. Por ejemplo,

   valor (P X (S (C 13) X)) 2  ==  30

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