El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   ruffiniDensa :: Int -> [Int] -> [Int]

tal que ruffiniDensa r cs es la lista de los coeficientes del cociente junto con el rsto que resulta de aplicar la regla de Ruffini para dividir el polinomio cuya representación densa es cs entre x-r. Por ejemplo,

   ruffiniDensa 2 [1,2,-1,-2] == [1,4,7,12]
   ruffiniDensa 1 [1,2,-1,-2] == [1,3,2,0]

ya que

     | 1  2  -1  -2           | 1  2  -1  -2
   2 |    2   8  14         1 |    1   3   2
   --+--------------        --+-------------
     | 1  4   7  12           | 1  3   2   0

TAD de los polinomios - Término independiente de un polinomio

José A. Alonso

15-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   terminoIndep :: (Num a, Eq a) => Polinomio  a -> a

tal que terminoIndep p es el término independiente del polinomio p. Por ejemplo,

   λ> ejPol1 = consPol 4 3 (consPol 2 5 (consPol 0 3 polCero))
   λ> ejPol1
   3*x^4 + 5*x^2 + 3
   λ> terminoIndep ejPol1
   3
   λ> ejPol2 = consPol 5 1 (consPol 2 5 (consPol 1 4 polCero))
   λ> ejPol2
   x^5 + 5*x^2 + 4*x
   λ> terminoIndep ejPol2
   0

TAD de los polinomios - Método de Horner del valor de un polinomio

José A. Alonso

12-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

El método de Horner para calcular el valor de un polinomio se basa en representarlo de una forma forma alernativa. Por ejemplo, para calcular el valor de

   a*x^5 + b*x^4 + c*x^3 + d*x^2 + e*x + f

se representa como

  (((((0 * x + a) * x + b) * x + c) * x + d) * x + e) * x + f

y se evalúa de dentro hacia afuera; es decir,

  v(0) = 0
  v(1) = v(0)*x+a = 0*x+a = a
  v(2) = v(1)*x+b = a*x+b
  v(3) = v(2)*x+c = (a*x+b)*x+c = a*x^2+b*x+c
  v(4) = v(3)*x+d = (a*x^2+b*x+c)*x+d = a*x^3+b*x^2+c*x+d
  v(5) = v(4)*x+e = (a*x^3+b*x^2+c*x+d)*x+e = a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e
  v(6) = v(5)*x+f = (a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e)*x+f = a*x^5+b*x^4+c*x^3+d*x^2+e*x+f

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   horner :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -> a

tal que horner p x es el valor del polinomio p al sustituir su variable por el número x. Por ejemplo,

   λ> pol1 = consPol 5 1 (consPol 2 5 (consPol 1 4 polCero))
   λ> pol1
   x^5 + 5*x^2 + 4*x
   λ> horner pol1 0
   0
   λ> horner pol1 1
   10
   λ> horner pol1 1.5
   24.84375
   λ> import Data.Ratio
   λ> horner pol1 (3%2)
   795 % 32

TAD de los polinomios - Divisibilidad de polinomios

José A. Alonso

11-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   divisiblePol :: (Fractional a, Eq a) =>
                   Polinomio a -> Polinomio a -> Bool

tal que divisiblePol p q se verifica si el polinomio p es divisible por el polinomio q. Por ejemplo,

   λ> pol1 = consPol 2 8 (consPol 1 14 (consPol 0 3 polCero))
   λ> pol1
   8*x^2 + 14*x + 3
   λ> pol2 = consPol 1 2 (consPol 0 3 polCero)
   λ> pol2
   2*x + 3
   λ> pol3 = consPol 2 6 (consPol 1 2 polCero)
   λ> pol3
   6*x^2 + 2*x
   λ> divisiblePol pol1 pol2
   True
   λ> divisiblePol pol1 pol3
   False

TAD de los polinomios - División de polinomios

José A. Alonso

10-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir las funciones

   cociente :: (Fractional a, Eq a) =>
               Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a
   resto    :: (Fractional a, Eq a) =>
               Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a

tales que

cociente p q es el cociente de la división de p entre q. Por ejemplo,

     λ> pol1 = consPol 3 2 (consPol 2 9 (consPol 1 10 (consPol 0 4 polCero)))
     λ> pol1
     2*x^3 + 9*x^2 + 10*x + 4
     λ> pol2 = consPol 2 1 (consPol 1 3 polCero)
     λ> pol2
     x^2 + 3*x
     λ> cociente pol1 pol2
     2.0*x + 3.0

resto p q es el resto de la división de p entre q. Por ejemplo,

     λ> resto pol1 pol2
     1.0*x + 4.0

TAD de los polinomios - Multiplicación de un polinomio por un número

José A. Alonso

09-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   multEscalar :: (Num a, Eq a) => a -> Polinomio a -> Polinomio a

tal que multEscalar c p es el polinomio obtenido multiplicando el número c por el polinomio p. Por ejemplo,

   λ> ejPol = consPol 1 2 (consPol 0 3 polCero)
   λ> ejPol
   2*x + 3
   λ> multEscalar 4 ejPol
   8*x + 12
   λ> multEscalar (1 % 4) ejPol
   1 % 2*x + 3 % 4

TAD de los polinomios - Integral definida de un polinomio

José A. Alonso

08-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   integralDef :: (Fractional t, Eq t) => Polinomio t -> t -> t -> t

tal que integralDef p a b es la integral definida del polinomio p entre a y b. Por ejemplo,

   λ> ejPol = consPol 7 2 (consPol 4 5 (consPol 2 5 polCero))
   λ> ejPol
   2*x^7 + 5*x^4 + 5*x^2
   λ> integralDef ejPol 0 1
   2.916666666666667
   λ> integralDef ejPol 0 1 :: Rational
   35 % 12

TAD de los polinomios - Integral de un polinomio

José A. Alonso

05-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   integral :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a

tal que integral p es la integral del polinomio p cuyos coefientes son números racionales. Por ejemplo,

   λ> ejPol = consPol 7 2 (consPol 4 5 (consPol 2 5 polCero))
   λ> ejPol
   2*x^7 + 5*x^4 + 5*x^2
   λ> integral ejPol
   0.25*x^8 + x^5 + 1.6666666666666667*x^3
   λ> integral ejPol :: Polinomio Rational
   1 % 4*x^8 + x^5 + 5 % 3*x^3

TAD de los polinomios - Potencia de un polinomio

José A. Alonso

04-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   potencia :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a

tal que potencia p n es la potencia n-ésima del polinomio p. Por ejemplo,

   λ> ejPol = consPol 1 2 (consPol 0 3 polCero)
   λ> ejPol
   2*x + 3
   λ> potencia ejPol 2
   4*x^2 + 12*x + 9
   λ> potencia ejPol 3
   8*x^3 + 36*x^2 + 54*x + 27

TAD de los polinomios - Resta de polinomios

José A. Alonso

03-05-2023

El tipo abstracto de datos de los polinomios

Utilizando el tipo abstracto de datos de los polinomios definir la función

   restaPol :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a

tal que restaPol p q es el polinomio obtenido restándole a p el q. Por ejemplo,

   λ> ejPol1 = consPol 5 1 (consPol 4 5 (consPol 2 5 (consPol 0 9 polCero)))
   λ> ejPol2 = consPol 4 3 (consPol 2 5 (consPol 0 3 polCero))
   λ> ejPol1
   x^5 + 5*x^4 + 5*x^2 + 9
   λ> ejPol2
   3*x^4 + 5*x^2 + 3
   λ> restaPol ejPol1 ejPol2
   x^5 + 2*x^4 + 6

Exercitium

TAD de los polinomios - Regla de Ruffini con representación densa

TAD de los polinomios - Término independiente de un polinomio

TAD de los polinomios - Método de Horner del valor de un polinomio

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