Los polinomios pueden representarse de forma dispersa o densa. Por ejemplo, el polinomio \(6x^4-5x^2+4x-7\) se puede representar de forma dispersa por [6,0,-5,4,-7] y de forma densa por [(4,6),(2,-5),(1,4),(0,-7)].

Definir la función

   densa :: [Int] -> [(Int,Int)]

tal que densa xs es la representación densa del polinomio cuya representación dispersa es xs. Por ejemplo,

   densa [6,0,-5,4,-7]  ==  [(4,6),(2,-5),(1,4),(0,-7)]
   densa [6,0,0,3,0,4]  ==  [(5,6),(2,3),(0,4)]
   densa [0]            ==  [(0,0)]

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Definir la función

   sumaConsecutivos :: [Integer] -> [Integer]

tal que sumaConsecutivos xs es la suma de los pares de elementos consecutivos de la lista xs. Por ejemplo,

   sumaConsecutivos [3,1,5,2]  ==  [4,6,7]
   sumaConsecutivos [3]        ==  []
   last (sumaConsecutivos [1..10^8])  ==  199999999

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El producto escalar de dos listas de enteros xs y ys de longitud n viene dado por la suma de los productos de los elementos correspondientes.

Definir la función

   productoEscalar :: [Integer] -> [Integer] -> Integer

tal que productoEscalar xs ys es el producto escalar de las listas xs e ys. Por ejemplo,

   productoEscalar [1,2,3] [4,5,6]  ==  32

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Una terna pitagórica es una terna de números naturales (a,b,c) tal que a<b<c y a²+b²=c². Por ejemplo (3,4,5) es una terna pitagórica.

Definir la función

   ternasPitagoricas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]

tal que ternasPitagoricas x es la lista de las ternas pitagóricas cuya suma es x. Por ejemplo,

   ternasPitagoricas 12     == [(3,4,5)]
   ternasPitagoricas 60     == [(10,24,26),(15,20,25)]
   ternasPitagoricas (10^6) == [(218750,360000,421250),(200000,375000,425000)]

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Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica si x² + y² = z² y x < y < z.

Definir la función

   pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)]

tal que pitagoricas n es la lista de todas las ternas pitagóricas cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo,

   pitagoricas 10  ==  [(3,4,5),(6,8,10)]
   pitagoricas 15  ==  [(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(9,12,15)]

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El número π puede calcularse con la fórmula de Leibniz

   π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1) + ...

Definir las funciones

   calculaPi :: Int -> Double
   errorPi   :: Double -> Int

tales que

• calculaPi n es la aproximación del número π calculada mediante la expresión

     4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1))

Por ejemplo,

     calculaPi 3    ==  2.8952380952380956
     calculaPi 300  ==  3.1449149035588526

• errorPi x es el menor número de términos de la serie necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,

     errorPi 0.1    ==    9
     errorPi 0.01   ==   99
     errorPi 0.001  ==  999

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El limite de sen(x)/x, cuando x tiende a cero, se puede calcular como el límite de la sucesión sen(1/n)/(1/n), cuando n tiende a infinito.

Definir las funciones

   aproxLimSeno :: Int -> [Double]
   errorLimSeno :: Double -> Int

tales que

• aproxLimSeno n es la lista de los n primeros términos de la sucesión sen(1/m)/(1/m). Por ejemplo,

     aproxLimSeno 1 == [0.8414709848078965]
     aproxLimSeno 2 == [0.8414709848078965,0.958851077208406]

• errorLimSeno x es el menor número de términos de la sucesión sen(1/m)/(1/m) necesarios para obtener su límite con un error menor que x. Por ejemplo,

     errorLimSeno 0.1     ==   2
     errorLimSeno 0.01    ==   5
     errorLimSeno 0.001   ==  13
     errorLimSeno 0.0001  ==  41

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El número e se define como el límite de la sucesión [latex]\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n[/latex].

Definir las funciones

   aproxE      :: Int -> [Double]
   errorAproxE :: Double -> Int

tales que

• aproxE k es la lista de los k primeros términos de la sucesión. Por ejemplo,

     aproxE 4 == [2.0,2.25,2.37037037037037,2.44140625]
     last (aproxE (7*10^7))  ==  2.7182818287372563

• errorE x es el menor número de términos de la sucesión necesarios para obtener su límite con un error menor que x. Por ejemplo,

     errorAproxE 0.1    ==  13
     errorAproxE 0.01   ==  135
     errorAproxE 0.001  ==  1359

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En el círculo de radio 2 hay 6 puntos cuyas coordenadas son puntos naturales:

   (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)

y en de radio 3 hay 11:

   (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0)

Definir la función

   circulo :: Int -> Int

tal que circulo n es el la cantidad de pares de números naturales (x,y) que se encuentran en el círculo de radio n. Por ejemplo,

   circulo 1    ==  3
   circulo 2    ==  6
   circulo 3    ==  11
   circulo 4    ==  17
   circulo 100  ==  7955

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Definir la función

   euler1 :: Integer -> Integer

tal que euler1 n es la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores que n. Por ejemplo,

   euler1 10      == 23
   euler1 (10^2)  == 2318
   euler1 (10^3)  == 233168
   euler1 (10^4)  == 23331668
   euler1 (10^5)  == 2333316668
   euler1 (10^10) == 23333333331666666668
   euler1 (10^20) == 2333333333333333333316666666666666666668
   euler1 (10^30) == 233333333333333333333333333333166666666666666666666666666668

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 1 del Proyecto Euler

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