Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo

   3
  7 4
 2 4 6
8 5 9 3

se representa por

[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]

Definir la función

maximaSuma :: [[Integer]] -> Integer

tal que (maximaSuma xss) es el máximo de las sumas de los elementos de los caminos en el triángulo xss donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,

maximaSuma [[3],[7,4]]                    ==  10
maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6]]            ==  14
maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]  ==  23
maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..100]]     ==  10100
maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..1000]]    ==  1001000
maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..2000]]    ==  4002000
maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..3000]]    ==  9003000
maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..4000]]    ==  16004000

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Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo

      3
     7 4
    2 4 6
   8 5 9 3

se representa por

[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]

Definir la función

caminos :: [[a]] -> [[a]]

tal que (caminos xss) es la lista de los caminos en el triángulo xss donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,

λ> caminos [[3],[7,4]]
[[3,7],[3,4]]
λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6]]
[[3,7,2],[3,7,4],[3,4,4],[3,4,6]]
λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]
[[3,7,2,8],[3,7,2,5],[3,7,4,5],[3,7,4,9],[3,4,4,5],[3,4,4,9],[3,4,6,9],[3,4,6,3]]

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Se considera la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero positivo:

• Si el número es par, se divide entre 2.
• Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.

Dado un número cualquiera, podemos calcular su órbita; es decir, las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, la órbita de 13 es

   13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...

Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir, se repite indefinidamente a partir de un momento dado). La conjetura de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número con el que comencemos. Ejemplos:

• Empezando en n = 6 se obtiene 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
• Empezando en n = 11 se obtiene: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
• Empezando en n = 27, la sucesión tiene 112 pasos, llegando hasta 9232 antes de descender a 1: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Definir la función

   mayoresGeneradores :: Integer -> [Integer]

tal que (mayoresGeneradores n) es la lista de los números menores o iguales que n cuyas órbitas de Collatz son las de mayor longitud. Por ejemplo,

   mayoresGeneradores 20      ==  [18,19]
   mayoresGeneradores (10^6)  ==  [837799]

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Una terna pitagórica es una terna de números naturales \((a,b,c)\) tal que \(a<b<c\) y \(a^2+b^2=c^2\). Por ejemplo (3,4,5) es una terna pitagórica.

Definir la función

ternasPitagoricas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]

tal que (ternasPitagoricas x) es la lista de las ternas pitagóricas cuya suma es x. Por ejemplo,

ternasPitagoricas 12     == [(3,4,5)]
ternasPitagoricas 60     == [(10,24,26),(15,20,25)]
ternasPitagoricas (10^6) == [(218750,360000,421250),(200000,375000,425000)]

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Los números naturales menores que 10 que son múltiplos de 3 ó 5 son 3, 5, 6 y 9. La suma de estos múltiplos es 23.

Definir la función

sumaMultiplos :: Integer -> Integer

tal que (sumaMultiplos n) es la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores que n. Por ejemplo,

sumaMultiplos 10      ==  23
sumaMultiplos (10^2)  ==  2318
sumaMultiplos (10^3)  ==  233168
sumaMultiplos (10^4)  ==  23331668
sumaMultiplos (10^5)  ==  2333316668
sumaMultiplos (10^6)  ==  233333166668
sumaMultiplos (10^7)  ==  23333331666668

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Un número n es abundante si la suma de divisores propios de n es mayor que n. El primer número abundante es el 12 (cuyos divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 cuya suma es 16). Por tanto, el menor número que es la suma de dos números abundantes es el 24.

Definir la sucesión

   sumasDeDosAbundantes :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números abundantes. Por ejemplo,

   take 10 sumasDeDosAbundantes  ==  [24,30,32,36,38,40,42,44,48,50]

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Definir la función

   numeroDivisores :: Integer -> Integer

tal que (numeroDivisores x) es el número de divisores de x. Por ejemplo,

   numeroDivisores 12  ==  6
   numeroDivisores 25  ==  3
   length (show (numeroDivisores (product [1..3*10^4])))  ==  1948

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Definir la función

   divisores :: Integer -> [Integer]

tal que (divisores x) es el conjunto de divisores de los x. Por ejemplo,

  divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
  length (divisores (product [1..10]))  ==  270
  length (divisores (product [1..25]))  ==  340032

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Definir la función

   esPotenciaDeDos :: Integer -> Bool

tal que esPotenciaDeDos n se verifica si n es una potencia de dos (suponiendo que n es mayor que 0). Por ejemplo.

   esPotenciaDeDos    1        == True
   esPotenciaDeDos    2        == True
   esPotenciaDeDos    6        == False
   esPotenciaDeDos    8        == True
   esPotenciaDeDos 1024        == True
   esPotenciaDeDos 1026        == False
   esPotenciaDeDos (2^(10^8))  == True

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Una partición de un entero positivo n es una manera de escribir n como una suma de enteros positivos. Dos sumas que sólo difieren en el orden de sus sumandos se consideran la misma partición. Por ejemplo, 4 tiene cinco particiones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.

Definir la función

   particiones :: Int -> [[Int]]

tal que particiones n es la lista de las particiones del número n. Por ejemplo,

   particiones 4  ==  [[4],[3,1],[2,2],[2,1,1],[1,1,1,1]]
   particiones 5  ==  [[5],[4,1],[3,2],[3,1,1],[2,2,1],[2,1,1,1],[1,1,1,1,1]]
   length (particiones 50)  ==  204226

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