Definir la función
cuadradoCercano :: Integer -> Integer
tal que cuadradoCercano n es el número cuadrado más cercano a n, donde n es un entero positivo. Por ejemplo,
cuadradoCercano 2 == 1 cuadradoCercano 6 == 4 cuadradoCercano 8 == 9 cuadradoCercano (10^46) == 10000000000000000000000000000000000000000000000
Un primo cubano es un número primo que se puede escribir como diferencia de dos cubos consecutivos. Por ejemplo, el 61 es un primo cubano porque es primo y 61 = 5³-4³.
Definir la sucesión
cubanos :: [Integer]
tal que sus elementos son los números cubanos. Por ejemplo,
λ> take 15 cubanos [7,19,37,61,127,271,331,397,547,631,919,1657,1801,1951,2269]
Definir la función
cerosDelFactorial :: Integer -> Integer
tal que cerosDelFactorial n es el número de ceros en que termina el factorial de n. Por ejemplo,
cerosDelFactorial 24 == 4 cerosDelFactorial 25 == 6 length (show (cerosDelFactorial (10^70000))) == 70000
La indicatriz de Euler (también función φ de Euler) es una función importante en teoría de números. Si n es un entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Por ejemplo, φ(36) = 12 ya que los números menores o iguales a 36 y coprimos con 36 son doce: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, y 35.
Definir la función
phi :: Integer -> Integer
tal que phi n es igual a φ(n). Por ejemplo,
phi 36 == 12 map phi [10..20] == [4,10,4,12,6,8,8,16,6,18,8] phi (3^10^5) `mod` (10^9) == 681333334 length (show (phi (10^(10^5)))) == 100000
Comprobar con QuickCheck que, para todo n > 0, φ(10^n) tiene n dígitos.
El hueco de un número primo p es la distancia entre p y primo siguiente de p. Por ejemplo, el hueco de 7 es 4 porque el primo siguiente de 7 es 11 y 4 = 11-7. Los huecos de los primeros números son
Primo Hueco
2 1
3 2
7 4
11 2
El hueco de un número primo p es maximal si es mayor que los huecos de todos los números menores que p. Por ejemplo, 4 es un hueco maximal de 7 ya que los huecos de los primos menores que 7 son 1 y 2 y ambos son menores que 4. La tabla de los primeros huecos maximales es
Primo Hueco
2 1
3 2
7 4
23 6
89 8
113 14
523 18
887 20
Definir la sucesión
primosYhuecosMaximales :: [(Integer,Integer)]
cuyos elementos son los números primos con huecos maximales junto son sus huecos. Por ejemplo,
λ> take 8 primosYhuecosMaximales [(2,1),(3,2),(7,4),(23,6),(89,8),(113,14),(523,18),(887,20)] λ> primosYhuecosMaximales !! 20 (2010733,148)
La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario. Los primeros términos de la serie son
[0] [0,1] [0,1,1,0] [0,1,1,0,1,0,0,1] [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0]
De esta forma se va formando una sucesión
0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,...
que se conoce como la sucesión de Thue-Morse.
Definir la sucesión
sucThueMorse :: [Int]
cuyos elementos son los de la sucesión de Thue-Morse. Por ejemplo,
λ> take 30 sucThueMorse [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0] λ> map (sucThueMorse4 !!) [1234567..1234596] [1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0] λ> map (sucThueMorse4 !!) [4000000..4000030] [1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1]
Comprobar con QuickCheck que si s(n) representa el término n-ésimo de la sucesión de Thue-Morse, entonces
s(2n) = s(n) s(2n+1) = 1 - s(n)
La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario (es decir, la lista obtenida cambiando el 0 por 1 y el 1 por 0). Los primeros términos de la serie son
[0] [0,1] [0,1,1,0] [0,1,1,0,1,0,0,1] [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0]
Definir la lista
serieThueMorse :: [[Int]]
tal que sus elementos son los términos de la serie de Thue-Morse. Por ejemplo,
λ> take 4 serieThueMorse [[0],[0,1],[0,1,1,0],[0,1,1,0,1,0,0,1]]
Definir la función
representaciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tal que representaciones n es la lista de pares de números naturales (x,y) tales que n = x² + y². Por ejemplo.
representaciones 20 == [(2,4)] representaciones 25 == [(0,5),(3,4)] representaciones 325 == [(1,18),(6,17),(10,15)] length (representaciones (10^14)) == 8
Comprobar con QuickCheck que un número natural n se puede representar como suma de dos cuadrados si, y sólo si, en la factorización prima de n todos los exponentes de sus factores primos congruentes con 3 módulo 4 son pares.
Definir la sucesión
sumasDeDosPrimos :: [Integer]
cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números primos. Por ejemplo,
λ> take 23 sumasDeDosPrimos [4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,20,21,22,24,25,26,28,30,31] λ> sumasDeDosPrimos !! (5*10^5) 862878
Un número de Hilbert es un entero positivo de la forma 4n+1. Los primeros números de Hilbert son 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, ...
Un primo de Hilbert es un número de Hilbert n que no es divisible por ningún número de Hilbert menor que n (salvo el 1). Los primeros primos de Hilbert son 5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, 53, 57, 61, 69, 73, 77, 89, 93, 97, 101, 109, 113, 121, 129, 133, 137, ...
Definir la función
factorizacionesH :: Integer -> [[Integer]]
tal que factorizacionesH n es la listas de primos de Hilbert cuyo producto es el número de Hilbert n. Por ejemplo,
factorizacionesH 25 == [[5,5]] factorizacionesH 45 == [[5,9]] factorizacionesH 441 == [[9,49],[21,21]] factorizacionesH 80109 == [[9,9,989],[9,69,129]]
Comprobar con QuickCheck que todos los números de Hilbert son factorizables como producto de primos de Hilbert (aunque la factorización, como para el 441, puede no ser única).