Definir la función
primosEquidistantes :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tal que primosEquidistantes k es la lista de los pares de primos cuya diferencia es k. Por ejemplo,
take 3 (primosEquidistantes 2) == [(3,5),(5,7),(11,13)] take 3 (primosEquidistantes 4) == [(7,11),(13,17),(19,23)] take 3 (primosEquidistantes 6) == [(23,29),(31,37),(47,53)] take 3 (primosEquidistantes 8) == [(89,97),(359,367),(389,397)] primosEquidistantes 4 !! (10^5) == (18467047,18467051)
Dos números amigos son dos números positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.
Definir la función
amigos :: Integer -> Integer -> Bool
tal que amigos x y se verifica si los números x e y son amigos. Por ejemplo,
amigos 220 284 == True amigos 220 23 == False amigos 9967523980 12890541236 == True
Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo
3 7 4 2 4 6 8 5 9 3
se representa por
[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]
Definir la función
maximaSuma :: [[Integer]] -> Integer
tal que (maximaSuma xss) es el máximo de las sumas de los de los caminos en el triángulo xss donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,
maximaSuma [[3],[7,4]] == 10 maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6]] == 14 maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] == 23 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..100]] == 10100 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..1000]] == 1001000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..2000]] == 4002000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..3000]] == 9003000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..4000]] == 16004000
Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo
3 7 4 2 4 6 8 5 9 3
se representa por
[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]
Definir la función
caminos :: [[a]] -> [[a]]
tal que (caminos xss) es la lista de los caminos en el triángulo, donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,
λ> caminos [[3],[7,4]] [[3,7],[3,4]] λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6]] [[3,7,2],[3,7,4],[3,4,4],[3,4,6]] λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] [[3,7,2,8],[3,7,2,5],[3,7,4,5],[3,7,4,9], [3,4,4,5],[3,4,4,9],[3,4,6,9],[3,4,6,3]]
Un máximo local de una lista es un elemento de la lista que es mayor que su predecesor y que su sucesor en la lista. Por ejemplo, 5 es un máximo local de [3,2,5,3,7,7,1,6,2] ya que es mayor que 2 (su predecesor) y que 3 (su sucesor).
Definir la función
maximosLocales :: Ord a => [a] -> [a]
tal que (maximosLocales xs) es la lista de los máximos locales de la lista xs. Por ejemplo,
maximosLocales [3,2,5,3,7,7,1,6,2] == [5,6] maximosLocales [1..100] == [] maximosLocales "adbpmqexyz" == "dpq"
Se considera la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero positivo:
Dado un número cualquiera, podemos calcular su órbita; es decir, las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, la órbita de 13 es
13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...
Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir, se repite indefinidamente a partir de un momento dado). La conjetura de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número con el que comencemos. Ejemplos:
Definir la función
mayoresGeneradores :: Integer -> [Integer]
tal que (mayoresGeneradores n) es la lista de los números menores o iguales que n cuyas órbitas de Collatz son las de mayor longitud. Por ejemplo,
mayoresGeneradores 20 == [18,19] mayoresGeneradores (10^6) == [837799]
Definir la función
exponente :: Integer -> Integer -> Int
tal que (exponente x n) es el exponente de x en la factorización prima de n (se supone que x > 1 y n > 0). Por ejemplo,
exponente 2 24 == 3 exponente 3 24 == 1 exponente 6 24 == 0 exponente 7 24 == 0
Definir la función
esPotenciaDe4 :: Integral a => a -> Bool
tal que (esPotenciaDe4 n) se verifica si n es una potencia de 4. Por ejemplo,
esPotenciaDe4 16 == True esPotenciaDe4 17 == False esPotenciaDe4 (4^(4*10^5)) == True esPotenciaDe4 (1 + 4^(4*10^5)) == False
Las matrices se pueden representar como lista de listas de la misma longitud, donde cada uno de sus elementos representa una fila de la matriz.
Definir la función
productoDiagonalPrincipal :: Num a => [[a]] -> a
tal que (productoDiagonalPrincipal xss) es el producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz cuadrada xss. Por ejemplo,
productoDiagonal [[3,5,2],[4,7,1],[6,9,8]] == 168 productoDiagonal (replicate 5 [1..5]) == 120 length (show (productoDiagonal (replicate 30000 [1..30000]))) == 121288
La reiteración de la suma de los elementos consecutivos de la lista [1,5,3] es 14 como se explica en el siguiente diagrama
1 + 5 = 6
\
==> 14
/
5 + 3 = 8
y la de la lista [1,5,3,4] es 29 como se explica en el siguiente diagrama
1 + 5 = 6
\
==> 14
/ \
5 + 3 = 8 ==> 29
\ /
==> 15
/
3 + 4 = 7
Definir la función
sumaReiterada :: Num a => [a] -> a
tal que (sumaReiterada xs) es la suma reiterada de los elementos consecutivos de la lista no vacía xs. Por ejemplo,
sumaReiterada [1,5,3] == 14 sumaReiterada [1,5,3,4] == 29