Un número de Hilbert es un entero positivo de la forma 4n+1. Los primeros números de Hilbert son 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97, ...

Un primo de Hilbert es un número de Hilbert n que no es divisible por ningún número de Hilbert menor que n (salvo el 1). Los primeros primos de Hilbert son 5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, 53, 57, 61, 69, 73, 77, 89, 93, 97, 101, 109, 113, 121, 129, 133, 137, 141, 149, 157, 161, 173, 177, 181, 193, 197, ...

Definir la sucesión

   primosH :: [Integer]

tal que sus elementos son los primos de Hilbert. Por ejemplo,

   take 15 primosH     == [5,9,13,17,21,29,33,37,41,49,53,57,61,69,73]
   primosH !! (3*10^4) == 313661

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El 25 de diciembre de 1640, en una carta a Mersenne, Fermat demostró la conjetura de Girard: todo primo de la forma 4n+1 puede expresarse de manera única como suma de dos cuadrados. Por eso es conocido como el teorema de Navidad de Fermat.

Definir las funciones

   representaciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   primosImparesConRepresentacionUnica :: [Integer]
   primos4nM1 :: [Integer]

tales que

• representaciones n es la lista de pares de números naturales (x,y) tales que n = x^2 + y^2 con x <= y. Por ejemplo.

     representaciones  20           ==  [(2,4)]
     representaciones  25           ==  [(0,5),(3,4)]
     representaciones 325           ==  [(1,18),(6,17),(10,15)]
     representaciones 100000147984  ==  [(0,316228)]
     length (representaciones (10^10))    ==  6
     length (representaciones (4*10^12))  ==  7

• primosImparesConRepresentacionUnica es la lista de los números primos impares que se pueden escribir exactamente de una manera como suma de cuadrados de pares de números naturales (x,y) con x <= y. Por ejemplo,

     λ> take 20 primosImparesConRepresentacionUnica
     [5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,137,149,157,173,181,193]

• primos4nM1 es la lista de los números primos que se pueden escribir como uno más un múltiplo de 4 (es decir, que son congruentes con 1 módulo 4). Por ejemplo,

     λ> take 20 primos4nM1
     [5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,137,149,157,173,181,193]

El teorema de Navidad de Fermat afirma que un número primo impar p se puede escribir exactamente de una manera como suma de dos cuadrados de números naturales p = x² + y² (con x <= y) si, y sólo si, p se puede escribir como uno más un múltiplo de 4 (es decir, que es congruente con 1 módulo 4).

Comprobar con QuickCheck el teorema de Navidad de Fermat; es decir, que para todo número n, los n-ésimos elementos de primosImparesConRepresentacionUnica y de primos4nM1 son iguales.

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Los números de Fibonacci se definen mediante las ecuaciones

   F(0) = 0
   F(1) = 1
   F(n) = F(n-1) + F(n-2), si n > 1

Los primeros números de Fibonacci son

   0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

Una generalización de los anteriores son los números de Pentanacci definidos por las siguientes ecuaciones

   P(0) = 0
   P(1) = 1
   P(2) = 1
   P(3) = 2
   P(4) = 4
   P(n) = P(n-1) + P(n-2) + P(n-3) + P(n-4) + P(n-5), si n > 4

Los primeros números de Pentanacci son

  0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, ...

Definir las funciones

   pentanacci  :: Integer -> Integer
   pentanaccis :: [Integer]

tales que

• pentanacci n es el n-ésimo número de Pentanacci. Por ejemplo,

     λ> pentanacci 14
     3525
     λ> pentanacci (10^5) `mod` 10^30
     482929150584077921552549215816
     λ> length (show (pentanacci (10^5)))
     29357

• pentanaccis es la lista de los números de Pentanacci. Por ejemplo,

     λ> take 15 pentanacci
     [0,1,1,2,4,8,16,31,61,120,236,464,912,1793,3525]

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Un sistema de ecuaciones lineales \(Ax = b\) es triangular inferior si todos los elementos de la matriz \(A\) que están por encima de la diagonal principal son nulos; es decir, es de la forma \begin{align} &a_{1 1}x_1 &= b_1 \newline &a_{2 1}x_1 + a_{2 2}x_2 &= b_2 \newline &a_{3 1}x_1 + a_{3 2}x_2 + a_{3 3}x_3 &= b_3 \newline &... & \newline &a_{n 1}x_1 + a_{n 2}x_2 + a_{n 3}x_3 +...+ a_{n n}x_n &= b_n \end{align}

El sistema es compatible si, y sólo si, el producto de los elementos de la diagonal principal es distinto de cero. En este caso, la solución se puede calcular mediante el algoritmo de bajada: \begin{align} x_1 &= \frac{b_1}{a_{1 1}} \newline x_2 &= \frac{b_2 - a_{2 1}x_1}{a_{2 2}} \newline x_3 &= \frac{b_3 - a_{3 1}x_1 - a_{3 2}x_2}{a_{3 3}} \newline ... \newline x_n &= \frac{b_n - a_{n 1}x_1 - a_{n 2}x_2 - ... - a_{n,n-1}x_{n-1}}{a_{n n}} \end{align}

Definir la función

   bajada :: Matrix Double -> Matrix Double -> Matrix Double

tal que bajada a b es la solución, mediante el algoritmo de bajada, del sistema compatible triangular superior ax = b. Por ejemplo,

   λ> let a = fromLists [[2,0,0],[3,1,0],[4,2,5.0]]
   λ> let b = fromLists [[3],[6.5],[10]]
   λ> bajada a b
   ( 1.5 )
   ( 2.0 )
   ( 0.0 )

Es decir, la solución del sistema \begin{align} 2x &= 3 \newline 3x + y &= 6.5 \newline 4x + 2y + 5z &= 10 \end{align} es \(x=1.5\), \(y=2\) y \(z=0\).

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La integral definida de una función f entre los límites a y b puede calcularse mediante la regla del rectángulo (ver en http://bit.ly/1FDhZ1z) usando la fórmula \[ h(f(a+\frac{h}{2}) + f(a+h+\frac{h}{2}) + f(a+2h+\frac{h}{2}) + ... + f(a+nh+\frac{h}{2}))\] con \(a+nh+\frac{h}{2} \leq b < a+(n+1)h+\frac{h}{2}\) y usando valores pequeños para \(h\).

Definir la función

   integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a

tal que integral a b f h es el valor de dicha expresión. Por ejemplo, el cálculo de la integral de (f(x) = x^3) entre 0 y 1, con paso 0.01, es

   integral 0 1 (^3) 0.01  ==  0.24998750000000042

Otros ejemplos son

   integral 0 1 (^4) 0.01                        ==  0.19998333362500048
   integral 0 1 (\x -> 3*x^2 + 4*x^3) 0.01       ==  1.9999250000000026
   log 2 - integral 1 2 (\x -> 1/x) 0.01         ==  3.124931644782336e-6
   pi - 4 * integral 0 1 (\x -> 1/(x^2+1)) 0.01  ==  -8.333333331389525e-6

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Definir la función

   raizEnt :: Integer -> Integer -> Integer

tal que raizEnt x n es la raíz entera n-ésima de x; es decir, el mayor número entero y tal que \(y^n \leq x\). Por ejemplo,

   raizEnt  8 3      ==  2
   raizEnt  9 3      ==  2
   raizEnt 26 3      ==  2
   raizEnt 27 3      ==  3
   raizEnt (10^50) 2 ==  10000000000000000000000000

Comprobar con QuickCheck que para todo número natural n,

    raizEnt (10^(2*n)) 2 == 10^n

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El método de bisección para calcular una raíz de una función en el intervalo [a,b] se basa en el teorema de Bolzano:

Si f(x) es una función continua en el intervalo \([a, b]\), y si, además, en los extremos del intervalo la función \(f\) toma valores de signo opuesto \((f(a)f(b) < 0)\), entonces existe al menos un valor \(c\) en \((a, b)\) para el que \(f(c) = 0\)".

El método para calcular una raíz de la función \(f\) en el intervalo \([a,b]\) con un error menor que \(e\) consiste en tomar el punto medio del intervalo \(c = \frac{a+b}{2}\) y considerar los siguientes casos:

• Si \(|f(c)| < e\), hemos encontrado una aproximación del punto que anula \(f\) en el intervalo con un error aceptable.
• Si \(f(c)\) tiene signo distinto de \(f(a)\), repetir el proceso en el intervalo \([a,c]\).
• Si no, repetir el proceso en el intervalo \([c,b]\).

Definir la función

   biseccion :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double

tal que biseccion f a b e es una aproximación del punto del intervalo [a,b] en el que se anula la función f, con un error menor que e, calculada mediante el método de la bisección. Por ejemplo,

   biseccion (\x -> x^2 - 3) 0 5 0.01             ==  1.7333984375
   biseccion (\x -> x^3 - x - 2) 0 4 0.01         ==  1.521484375
   biseccion cos 0 2 0.01                         ==  1.5625
   biseccion (\x -> log (50-x) - 4) (-10) 3 0.01  ==  -5.125

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Definir la función

   limite :: (Double -> Double) -> Double -> Double

tal que limite f a es el valor de f en el primer término x tal que, para todo y entre x+1 y x+100, el valor absoluto de la diferencia entre f(y) y f(x) es menor que a. Por ejemplo,

   limite (\n -> (2*n+1)/(n+5)) 0.001  ==  1.9900110987791344
   limite (\n -> (1+1/n)**n) 0.001     ==  2.714072874546881

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Definir, usando puntoCero, la función

   inversa :: (Double -> Double) -> Double -> Double

tal que inversa g x es el valor de la inversa de g en x. Por ejemplo,

   inversa (^2) 9  ==  3.000000002941184

Definir, usando inversa, las funciones raizCuadrada, raizCubica, arcoseno y arcocoseno que calculen la raíz cuadrada, la raíz cúbica, el arco seno y el arco coseno, respectivamente. Por ejemplo,

   raizCuadrada 9  ==  3.000000002941184
   raizCubica 27   ==  3.0000000000196048
   arcoseno 1      ==  1.5665489428306574
   arcocoseno 0    ==  1.5707963267949576

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Los ceros de una función pueden calcularse mediante el método de Newton basándose en las siguientes propiedades:

• Si \(b\) es una aproximación para el punto cero de \(f\), entonces \[ b-\frac{f(b)}{f'(b)} \] donde \(f'\) es la derivada de \(f\), es una mejor aproximación.
• el límite de la sucesión \(x_n\) definida por \begin{align} x_0 &= 1 \newline x_{n+1} &= x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \end{align} es un cero de \(f\).

Definir la función

   puntoCero :: (Double -> Double) -> Double

tal que puntoCero f es un cero de la función f calculado usando la propiedad anterior. Por ejemplo,

   puntoCero cos  ==  1.5707963267949576

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