Definir la función
suma :: Integer -> Integer
tal que (suma n) es la suma 1·1! + 2·2! + 3·3! + ... + n·n!. Por ejemplo,
suma 1 == 1 suma 2 == 5 suma 3 == 23 suma 4 == 119 suma 5 == 719 take 9 (show (suma 70000)) == "823780458"
La integral definida de una función f entre los límites a y b puede calcularse mediante la regla del rectángulo usando la fórmula \[ h \cdot \left( f\left(a + \frac{h}{2}\right) + f\left(a + h + \frac{h}{2}\right) + f\left(a + 2h + \frac{h}{2}\right) + \dots + f\left(a + nh + \frac{h}{2}\right) \right) \] con \[ a + n h + \frac{h}{2} \leq b < a + (n+1) h + \frac{h}{2} \] y usando valores pequeños para \(h\).
Definir la función
integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a
tal que (integral a b f h) es el valor de dicha expresión. Por ejemplo, el cálculo de la integral de f(x) = x^3 entre 0 y 1, con paso 0.01, es
integral 0 1 (^3) 0.01 == 0.24998750000000042
Otros ejemplos son
integral 0 1 (^4) 0.01 == 0.19998333362500048 integral 0 1 (\x -> 3*x^2 + 4*x^3) 0.01 == 1.9999250000000026 log 2 - integral 1 2 (\x -> 1/x) 0.01 == 3.124931644782336e-6 pi - 4 * integral 0 1 (\x -> 1/(x^2+1)) 0.01 == -8.333333331389525e-6
El menor número con 2 divisores es el 2, ya que tiene 2 divisores (el 1 y el 2) y el anterior al 2 (el 1) sólo tiene 1 divisor (el 1).
El menor número con 4 divisores es el 6, ya que tiene 4 divisores (el 1, 2, 3 y 6) y sus anteriores (el 1, 2, 3, 4 y 5) tienen menos de 4 divisores (tienen 1, 1, 1, 3 y 1, respectivamente).
El menor número con 8 divisores es el 24, ya que tiene 8 divisores (el 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24) y sus anteriores (del 1 al 23) tienen menos de 8 divisores.
El menor número con 16 divisores es el 120, ya que tiene 16 divisores (el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 y 120) y sus anteriores (del 1 al 119) tienen menos de 16 divisores.
Definir la función
menor :: Integer -> Integer
tal que (menor n) es el menor número con 2^n divisores. Por ejemplo,
menor 1 == 2 menor 2 == 6 menor 3 == 24 menor 4 == 120 length (show (menor (4*10^4))) == 207945
Comprobar con QuickCheck que, para todo k >=0, (menor (2^k)) es un divisor de (menor (2^(k+1))).
Nota: Este ejercicio está basado en el problema N1 de la Olimpíada Internacional de Matemáticas (IMO) del 2011.
Definir, por simulación, la función
distanciaEsperada :: Int -> IO Double
tal que (distanciaEsperada n) es la distancia esperada entre n puntos del cuadrado unitario de vértices opuestos (0,0) y (1,1), elegidos aleatoriamente. Por ejemplo,
distanciaEsperada 10 == 0.43903617921423593 distanciaEsperada 10 == 0.6342350621260004 distanciaEsperada 100 == 0.5180418995364429 distanciaEsperada 100 == 0.5288261085653962 distanciaEsperada 1000 == 0.5143804432569616 distanciaEsperada 10000 == 0.5208360147922616
El valor exacto de la distancia esperada es \[ ve = \frac{\sqrt{2} + 2 + 5 \log(1 + \sqrt{2})}{15} \approx 0.5214054331647207 \]
Definir la función
graficaDistanciaEsperada :: [Int] -> IO ()
tal que (graficaDistanciaEsperada ns) dibuja las gráficas de los pares (n, distanciaEsperada n) para n en la lista creciente ns junto con la recta y = ve, donde ve es el valor exacto. Por ejemplo, (graficaDistanciaEsperada [10,30..4000]) dibuja
Dada una relación r sobre un conjunto de números enteros, la matriz asociada a r es una matriz booleana p (cuyos elementos son True o False), tal que p(i,j) = True si y sólo si i está relacionado con j mediante la relación r.
Las relaciones binarias homogéneas y las matrices booleanas se pueden representar por
type Relacion = ([Int],[(Int,Int)]) type Matriz = Array (Int,Int) Bool
Definir la función
matrizRB:: Relacion -> Matriz
tal que (matrizRB r) es la matriz booleana asociada a r. Por ejemplo,
λ> matrizRB ([1..3],[(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)]) array ((1,1),(3,3)) [((1,1),True) ,((1,2),False),((1,3),True), ((2,1),False),((2,2),False),((2,3),False), ((3,1),True) ,((3,2),False),((3,3),True)] λ> matrizRB ([1..3],[(1,3), (3,1)]) array ((1,1),(3,3)) [((1,1),False),((1,2),False),((1,3),True), ((2,1),False),((2,2),False),((2,3),False), ((3,1),True) ,((3,2),False),((3,3),False)] λ> let n = 10^4 in matrizRB3 ([1..n],[(1,n),(n,1)]) ! (n,n) False
Dada una lista de números naturales xs, codificación de Gödel de xs se obtiene multiplicando las potencias de los primos sucesivos, siendo los exponentes los sucesores de los elementos de xs. Por ejemplo, si xs = [6,0,4], la codificación de xs es \[2^7 \times 3^1 \times 5^5 = 1200000 \]
Definir las funciones
codificaG :: [Integer] -> Integer decodificaG :: Integer -> [Integer]
tales que
(codificaG xs) es la codificación de Gödel de xs. Por ejemplo,codificaG [6,0,4] == 1200000 codificaG [3,1,1] == 3600 codificaG [3,1,0,0,0,0,0,1] == 4423058640 codificaG [1..6] == 126111168580452537982500
(decodificaG n) es la lista xs cuya codificación es n. Por ejemplo,decodificaG 1200000 == [6,0,4] decodificaG 3600 == [3,1,1] decodificaG 4423058640 == [3,1,0,0,0,0,0,1] decodificaG 126111168580452537982500 == [1,2,3,4,5,6]
Comprobar con QuickCheck que ambas funciones son inversas; es decir,
decodificaG (codificaG xs) = xs codificaG (decodificaG n) = n
Un primo circular es un número tal que todas las rotaciones de dígitos producen números primos. Por ejemplo, 195 es un primo circular ya que las rotaciones de sus dígitos son 197, 971 y 719 y los tres números son primos.
Definir la lista
circulares :: [Integer]
cuyo valor es la lista de los números primos circulares. Por ejemplo,
take 16 circulares == [2,3,5,7,11,13,17,31,37,71,73,79,97,113,131,197] circulares !! 50 == 933199
Definir la función
frecuencias :: Ord a => [a] -> Map a Int
tal que (frecuencias xs) es el diccionario formado por los elementos de xs junto con el número de veces que aparecen en xs. Por ejemplo,
λ> frecuencias "sosos" fromList [('o',2),('s',3)] λ> frecuencias (show (10^100)) fromList [('0',100),('1',1)] λ> frecuencias (take (10^6) (cycle "abc")) fromList [('a',333334),('b',333333),('c',333333)] λ> size (frecuencias (take (10^6) (cycle [1..10^6]))) 1000000
Definir la funciones
sumas :: Int -> [[Int]] nSumas :: Int -> Integer
tales que
(sumas n) es la lista de las descomposiciones de n como sumas cuyos sumandos son 1 ó 2. Por ejemplo,sumas 1 == [[1]] sumas 2 == [[1,1],[2]] sumas 3 == [[1,1,1],[1,2],[2,1]] sumas 4 == [[1,1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[2,1,1],[2,2]] length (sumas 26) == 196418 length (sumas 33) == 5702887
(nSumas n) es el número de descomposiciones de n como sumas cuyos sumandos son 1 ó 2. Por ejemplo,nSumas 4 == 5 nSumas 123 == 36726740705505779255899443 length (show (nSumas 123456)) == 25801
Empezando con el número 1 y moviéndose en el sentido de las agujas del reloj se obtienen las matrices espirales
|1 2| |7 8 9| | 7 8 9 10| |21 22 23 24 25|
|4 3| |6 1 2| | 6 1 2 11| |20 7 8 9 10|
|5 4 3| | 5 4 3 12| |19 6 1 2 11|
|16 15 14 13| |18 5 4 3 12|
|17 16 15 14 13|
La suma los elementos de sus diagonales es
+ en la 2x2: 1+3+2+4 = 10 + en la 3x3: 1+3+5+7+9 = 25 + en la 4x4: 1+2+3+4+7+10+13+16 = 56 + en la 5x5: 1+3+5+7+9+13+17+21+25 = 101
Definir la función
sumaDiagonales :: Integer -> Integer
tal que (sumaDiagonales n) es la suma de los elementos en las diagonales de la matriz espiral de orden nxn. Por ejemplo.
sumaDiagonales 1 == 1 sumaDiagonales 2 == 10 sumaDiagonales 3 == 25 sumaDiagonales 4 == 56 sumaDiagonales 5 == 101 sumaDiagonales (10^6) == 666667166668000000 sumaDiagonales (1+10^6) == 666669166671000001 sumaDiagonales (10^2) == 671800 sumaDiagonales (10^3) == 667168000 sumaDiagonales (10^4) == 666716680000 sumaDiagonales (10^5) == 666671666800000 sumaDiagonales (10^6) == 666667166668000000 sumaDiagonales (10^7) == 666666716666680000000 sumaDiagonales (10^8) == 666666671666666800000000 sumaDiagonales (10^9) == 666666667166666668000000000
Comprobar con QuickCheck que el último dígito de (sumaDiagonales n) es 0, 4 ó 6 si n es par y es 1, 5 ó 7 en caso contrario.