El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1972 es

Demostrar que cada n ≢ 0 (mod 10) posee algún múltiplo sin el dígito 0.

Definir la función

   multiplosSinCeros :: Integer -> [Integer]

tal que (multiplosSinCeros n) es la lista de los múltiplos de n sin el dígito 0. Por ejemplo,

   λ> take 10 (multiplosSinCeros 101)
   [1111,1212,1313,1414,1515,1616,1717,1818,1919,2121]

Comprobar con QuickCheck que si n es un número entero positivo no divisible por 10, entonces n posee algún múltiplo sin el dígito 0.

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El enunciado de un problema para la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO) de 1970 es

Sean x1, x2, x3, x4, x5, x6 enteros no divisibles por 7. Demostrar que alguna de las sumas ±x1 ± x2 ± x3 ± x4 ± x5 ± x6 es divisible por 7, donde los signos se seleccionan de todas las manera posibles. (Generalizar la propiedad para todos los primos).

Definir la función

   sumas :: [Integer] -> [Integer]

tal que (sumas xs) es la lista de los valores de las sumas

   ±x(1) ± x(2) ± ··· ± x(n)

donde [x(1),x(2),...,x(n)] = xs y los signos se seleccionan de todas las manera posibles. Por ejemplo,

   sort (sumas [3])      ==  [-3,3]
   sort (sumas [2,3])    ==  [-5,-1,1,5]
   sort (sumas [1,2,3])  ==  [-6,-4,-2,0,2,4,6]

Comprobar con QuickCheck que para todo número primo impar p y toda lista xs de longitud (p-1) de elementos no divisibles por p se verifica que la lista (sumas xs) tiene algún elemento divisible por p.

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El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1968 es

Sean a(0), a(1), ..., a(n) (con n ≥ 1) números enteros positivos. Encontrar todos los números enteros y tales que

a(0) | y; (a(0)+a(1)) | (y+a(1)); ... ; (a(0)+a(n)) | (y+a(n)).

donde "x | y" significa que "y es divisible por x".

Se dice que un número y es divisible respecto de la sucesión a(0), a(1), ..., a(n) si verifica la propiedad anterior; es decir,

      a(0) | y; (a(0)+a(1)) | (y+a(1)); ... ; (a(0)+a(n)) | (y+a(n)).

Definir la función

   divisiblesSucesion :: [Integer] -> [Integer]

tal que (divisiblesSucesion xs) es la lista de los números enteros divisibles respecto de xs. Por ejemplo,

   take 6 (divisiblesSucesion [2,5,3])     ==  [2,72,142,212,282,352]
   divisiblesSucesion [3,5..30] !! (10^5)  ==  144144000003
   divisiblesSucesion [3,5..30] !! (10^6)  ==  1441440000003
   divisiblesSucesion [3,5..30] !! (10^7)  ==  14414400000003

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El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1966 es

• (a) Calcular el número de maneras de expresar 500 como suma de números naturales consecutivos.
• (b) Calcular el número de tales representaciones para n = 2^x·3^y·5^z, con x, y, z ∈ ℕ. ¿Cuántas de ellas están formadas por un único elemento?
• (c) Calcular el número de tales representaciones para un número natural n.

Definir las funciones

   consecutivosConSuma    :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   nDeConsecutivosConSuma :: Integer -> Integer

tales que

• (consecutivosConSuma n) es la lista de los extremos de las sucesiones de números naturales consecutivos cuya suma es n. Por ejemplo,

     consecutivosConSuma 3  ==  [(0,2),(1,2),(3,3)]
     consecutivosConSuma 4  ==  [(4,4)]
     consecutivosConSuma 5  ==  [(2,3),(5,5)]
     consecutivosConSuma 6  ==  [(0,3),(1,3),(6,6)]
     consecutivosConSuma 15 ==  [(0,5),(1,5),(4,6),(7,8),(15,15)]
     maximum [length (consecutivosConSuma n) | n <- [1..1000]] == 16

• (nDeConsecutivosConSuma n) es la cantidad de sucesiones de números naturales consecutivos cuya suma es n. Por ejemplo,

     nDeConsecutivosConSuma 3  ==  3
     nDeConsecutivosConSuma 4  ==  1
     nDeConsecutivosConSuma 5  ==  2
     nDeConsecutivosConSuma 6  ==  3
     nDeConsecutivosConSuma 15 ==  5
     maximum [nDeConsecutivosConSuma n | n <- [1..10^5]] == 49
     nDeConsecutivosConSuma (product [1..17])            == 672

Usando las funciones anteriores, calcular las respuestas del problema de la Olimpiada.

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El enunciado del problema 1 de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 1960 es el siguiente

Encontrar todos los números de tres cifras para los que al dividir el número entre 11 se obtiene la suma de los cuadrados de las cifras del número inicial.

Diremos que un número x es especial si al dividir x entre 11 se obtiene la suma de los cuadrados de las cifras de x.

Definir la función

   esEspecial :: Integer -> Bool

tal que (esEspecial x) se verifica si x es especial. Por ejemplo,

   esEspecial 550          ==  True
   esEspecial 22           ==  False
   esEspecial 241          ==  False
   esEspecial (11^(10^8))  ==  False

Usando la función esEspecial, calcular la respuesta al problema de la Olimpiada.

Calculando los números especiales menores que 10⁶, conjeturar que el conjunto de los números especiales es finito y comprobar la conjetura con QuickCheck.

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El enunciado del problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2000 es

Considérese la sucesión definida como a(1) = 3, y a(n+1) = a(n) + a(n)². Determínense las dos últimas cifras de a(2000).

Definir las sucesiones

   sucesionA :: [Integer]
   sucesionB :: [Integer]

tales que

• sucesionA es la lista de los términos de la sucesión a(n). Por ejemplo,

     take 4 sucesionA  ==  [3,12,156,24492]

• sucesionB es la lista de los dos últimos dígitos de los término de la sucesión a(n). Por ejemplo,

     take 4 sucesionB     ==  [3,12,56,92]
     sucesionB !! (10^6)  ==  56

Usando la sucesionB, calcular la respuesta a la pregunta del problema de la Olimpiada.

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El enunciado de un problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2000 es

¿Cuántos números, comprendidos entre 1.000 y 9.999, verifican que la suma de sus cuatro dígitos es mayor o igual que el producto de los mismos? ¿Para cuántos de ellos se verifica la igualdad?

Definir las funciones

   conMayorSumaQueProducto :: Int -> Int -> [Int]
   conIgualSumaQueProducto :: Int -> Int -> [Int]

tales que

• (conMayorSumaQueProducto a b) es la lista de los números del intervalo [a,b] tales que la suma de sus dígitos es mayor o igual que el producto de los mismos. Por ejemplo,

     λ> conMayorSumaQueProducto 20 99
     [20,21,30,31,40,41,50,51,60,61,70,71,80,81,90,91]
     λ> conMayorSumaQueProducto 120 199
     [120,121,122,130,131,140,141,150,151,160,161,170,171,180,181,190,191]
     λ> conMayorSumaQueProducto 220 299
     [220,221,230,240,250,260,270,280,290]

• (conIgualSumaQueProducto a b) es la lista de los números del intervalo [a,b] tales que la suma de sus dígitos es igual que el producto de los mismos. Por ejemplo,

     λ> conIgualSumaQueProducto 10 99
     [22]
     λ> conIgualSumaQueProducto 100 999
     [123,132,213,231,312,321]

Usando las funciones anteriores, calcular las respuestas a las preguntas del problema de la Olimpiada.

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El enunciado de un problema 3.3 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2004 es

Hallad todas las posibles formas de escribir 2003 como suma de dos cuadrados de números enteros positivos.

Definir la sucesión

   sonSumaDosCuadrados :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden expresar como suma de los cuadrados de dos números naturales. Por ejemplo,

   take 6 sonSumaDosCuadrados      ==  [0,1,2,4,5,8]
   sonSumaDosCuadrados !! (10^4)   ==  39593

Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades:

• La sucesión sonSumaDosCuadrados es infinita.
• Los elementos de sonSumaDosCuadrados no son congruentes con 3 módulo 4 (es decir, sus restos al dividirlo por 4 son distintos de 3).

Usando sonSumaDosCuadrados, resolver el problema propuesto; es decir, calcular todas las posibles formas de escribir 2003 como suma de dos cuadrados de números enteros positivos.

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El enunciado del problema C6 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2006 es

Decimos que tres números naturales distintos forman una terna aditiva si la suma de los dos primeros de ellos es igual al tercero. Hallar, razonadamente, el máximo número de ternas aditivas que puede haber en un conjunto dado de 20 números naturales.

Definir las funciones

   ternasAditivas  :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
   nTernasAditivas :: Integer -> Integer

tales que

• (ternasAditivas n) es la lista de las ternas aditivas crecientes que se pueden formar con los n primeros números enteros positivos. Por ejemplo,

     λ> ternasAditivas 7
     [(1,2,3),(1,3,4),(1,4,5),(1,5,6),(1,6,7),(2,3,5),(2,4,6),(2,5,7),(3,4,7)]
     λ> length (ternasAditivas (10^4))
     24995000

• (nTernasAditivas n) es el número de ternas aditivas crecientes que se pueden formar con los n primeros números enteros positivos. Por ejemplo,

     nTernasAditivas 7                            ==  9
     length (show (nTernasAditivas (10^(10^5))))  ==  200000
     length (show (nTernasAditivas (10^(10^6))))  ==  2000000
     length (show (nTernasAditivas (10^(10^7))))  ==  20000000

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El enunciado del problema C2 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2006 es

¿Existe un conjunto infinito de números naturales que NO se pueden representar en la forma n³+p, siendo n natural y p primo? Razónese la contestación.

Definir la lista

   noSonCuadradoMasPrimo :: [Integer]

cuyos elementos son los números que no se pueden escribir como un cuadrado más un primo. Por ejemplo,

   λ> take 15 noSonCuadradoMasPrimo
   [1,10,25,34,58,64,85,91,121,130,169,196,214,226,289]
   λ> noSonCuadradoMasPrimo2 !! 200
   78961

En la lista no está el 2 (porque 2 = 0²+2), el 3 (porque 3 = 1²+2), el 4 (porque 4 = 0²+4) ni el 11 (porque 11 = 3²+2).

Comprobar con QuickCheck que noSonCuadradoMasPrimo es infinita.

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