El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1983 es

Sea n un número entero positivo. Sea σ(n) la suma de los divisores positivos de n (incluyendo al 1 y al n). Se dice que un entero m ≥ 1 es superabundante (P. Erdös, 1944) si ∀k ∈ {1, 2, ..., m-1}, σ(m)/m > σ(k)/k. Demostrar que esisten infinitos números superabundantes.

Definir la lista

   superabundantes :: [Integer]

cuyos elementos son los números superabundantes. Por ejemplo,

   take 7 superabundantes == [1,2,4,6,12,24,36]
   superabundantes !! 25  ==  166320

Leer más…

El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1982 es

Calcular una permutación (a(1),...,a(n)) de {1,2,...,n} que maximice el valor de

a(1)a(2) + a(2)a(3) + ··· + a(n)a(1)

Definir la función

   maximoValorPermutaciones :: Integer -> Integer

tal que (maximoValorPermutaciones n) es el máximo valor de

   a(1)a(2) + a(2)a(3) + ··· + a(n)a(1)

para todas las permutaciones (a(1),...,a(n)) de {1,2,...,n}. Por ejemplo,

   maximoValorPermutaciones 4       ==  25
   maximoValorPermutaciones (10^7)  ==  333333383333315000003
   maximoValorPermutaciones (10^8)  ==  333333338333333150000003
   maximoValorPermutaciones (10^9)  ==  333333333833333331500000003
   length (show (maximoValorPermutaciones (10^1000)))  ==  3000
   length (show (maximoValorPermutaciones (10^2000)))  ==  6000
   length (show (maximoValorPermutaciones (10^3000)))  ==  9000

Comprobar con QuickCheck que, para todo entero positivo n y toda permutación (a(1),...,a(n)) de {1,2,...,n},

   maximoValorPermutaciones n >= a(1)a(2) + a(2)a(3) + ··· + a(n)a(1)

Leer más…

El enunciado del problema 3 de la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1981 es

Calcular el máximo valor de m² + n² donde m y n son números enteros tales que m, n ∈ {1, 2, ..., 1981} y (n² - mn - m²)² = 1.

Definir la función

   maximoValor :: Integer -> Integer

tal que (maximoValor k) es el máximo valor de m² + n² donde m y n son números enteros tales que m, n ∈ {1, 2, ..., k} y (n² - mn - m²)² = 1. Por ejemplo,

   maximoValor 10       ==  89
   maximoValor (10^20)  ==  9663391306290450775010025392525829059713
   length (show (maximoValor (10^(4*10^4))))  ==  80000

Usando la función maximoValor, calcular la respuesta del problema.

Leer más…

El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1978 es

Para cada número entero d ≥ 1, sea M(d) el conjunto de todos enteros positivos que no se pueden escribir como una suma de una progresión aritmética de diferencia d, teniendo al menos dos sumandos y formadas por enteros positivos. Sean A = M(1), B = M(2)-{2} y C = M(3). Demostrar que todo c ∈ C se puede escribir de una única manera como c = ab con a ∈ A, b ∈ B.

Definir las funciones

   conjuntoA   :: [Integer]
   conjuntoB   :: [Integer]
   conjuntoC   :: [Integer]
   productosAB :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tales que

• conjuntoA es la lista de los elementos del conjunto A; es decir, de los números que no se pueden escribir como sumas de progresiones aritméticas de diferencia uno, con al menos dos términos, de números enteros positivos. Por ejemplo,

     conjuntoA !! 2                      ==  4
     length (show (conjuntoA !! (10^7))) == 3010300

• conjuntoB es la lista de los elementos del conjunto B; es decir, los números (distintos de dos) que no se pueden escribir como sumas de progresiones aritméticas de diferencia dos, con al menos dos términos, de números enteros positivos. Por ejemplo,

     conjuntoB !! 3       ==  5
     conjuntoB !! (10^6)  ==  15485863

• conjuntoC es la lista de los elementos del conjunto C; es decir, los números que no se pueden escribir como sumas de progresiones aritméticas de diferencia tres, con al menos dos términos, de números enteros positivos. Por ejemplo,

     conjuntoC !! 4  ==  6

• (productosAB x) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un elementos del conjunto A, b es un elemento del conjunto B y su producto es x. Por ejemplo,

     productosAB 10  ==  [(2,5)]
     productosAB 15  ==  []

Comprobar con QuickCheck la propiedad del problema de la Olimpiada; es decir, para todo c ∈ C la lista (productosAB c) tiene exactamente un elemento.

Leer más…

El número 5 es la suma de números enteros positivos en progresión aritmética de diferencia tres (ya que es 1+4) y también lo es el 7 (ya que es 2+5) y el 12 (ya que es (1+4+7), pero el 6 no lo es.

Definir la función

   noSonSumasDePADeDiferencia :: Integer -> [Integer]

tal que (noSonSumasDePADeDiferencia d) es la lista de los números no se pueden escribir como sumas de progresiones aritméticas de diferencia d, con al menos términos, de números enteros positivos. Por ejemplo,

   (noSonSumasDePADeDiferencia 3) !! 4    ==  6
   (noSonSumasDePADeDiferencia 3) !! 100  ==  6848
   (noSonSumasDePADeDiferencia 9) !! 200  ==  6752

Leer más…

El número 4 es la suma de números enteros positivos en progresión aritmética de diferencia dos (ya que es 1+3) y también lo es el 6 (ya que es 2+4) y el 9 (ya que es (1+3+5), pero el 5 no lo es.

Definir la función

   noSonSumasDePADeDiferenciaDos :: [Integer]

cuyos elementos son los números que no se pueden escribir como sumas de progresiones aritméticas de diferencia dos, con al menos dos términos, de números enteros positivos. Por ejemplo,

   noSonSumasDePADeDiferenciaDos !! 3  ==  5
   noSonSumasDePADeDiferenciaDos !! (10^6)  ==  15485863

Leer más…

El número 3 es la suma de números enteros positivos en progresión aritmética de diferencia uno (ya que es 1+2) y también lo es el 5 (ya que es 2+3) y el 6 (ya que es (1+2+3), pero el 4 no lo es.

Definir la función

   noSonSumasDePADeDiferenciaUno :: [Integer]

cuyos elementos son los números que no se pueden escribir como de progresiones aritméticas de diferencia uno, con al menos dos términos, de números enteros positivos. Por ejemplo,

   noSonSumasDePADeDiferenciaUno !! 2  ==  4
   length (show (noSonSumasDePADeDiferenciaUno !! (10^7))) == 3010300

Leer más…

Definir la función

   productos :: [Integer] -> [Integer] -> Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (productos as bs c) es la lista de pares (a,b) tales que a un elementos de as, b es un elemento de bs y su producto es x, donde as y bs son listas (posiblemente infinitas) ordenadas crecientes. Por ejemplo,

   productos [3,5..] [2,4..] 2000  ==  [(5,400),(25,80),(125,16)]
   productos [3,5..] [2,4..] 2001  ==  []
   length (productos [3,5..] [2,4..] (product [1..11]))  ==  59

Leer más…

El enunciado del primer problema de la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1978 es

Sean n > m ≥ 1 números naturales tales que los 3 últimos dígitos de 1978^m y 1978^n coinciden. Calcular el par (m,n) de dichos pares para el que m+n es mínimo.

Definir la función

   potenciasMismoFinales :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (potenciasMismoFinales x) es la lista de los pares de naturales (m,n) tales que n > m ≥ 1 y los 3 últimos dígitos de x^m y x^n coinciden (además, la lista está ordenada por la suma de las componentes de sus elementos). Por ejemplo,

   take 3 (potenciasMismoFinales 1001) == [(1,2),(1,3),(1,4)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1002) == [(3,103),(4,104),(5,105)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1003) == [(1,101),(2,102),(3,103)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1004) == [(2,52),(3,53),(4,54)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1005) == [(3,5),(3,7),(4,6)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1006) == [(3,28),(4,29),(5,30)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1007) == [(1,21),(2,22),(3,23)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1008) == [(1,101),(2,102),(3,103)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1009) == [(1,51),(2,52),(3,53)]

Usando la función potenciasMismoFinales, calcular la respuesta al problema de la Olimpiada.

Leer más…

El enunciado del 4º problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1976 es

Calcular el mayor número que se puede obtener multiplicando los enteros positivos cuya suma es 1976.

Definir la función

   mayorProductoSumandos :: Integer -> Integer

tal que (mayorProductoSumandos n) el mayor número que se puede obtener multiplicando los enteros positivos cuya suma es n. Por ejemplo,

   mayorProductoSumandos 5 == 6

ya que los posibles listas de sumandos con suma 5 son

   [5], [2,3], [1,4], [1,2,2], [1,1,3], [1,1,1,2], [1,1,1,1,1]

sus productos son

   5,   6,     4,     4,       3,       2,         1

y el mayor de dichos productos es 6.

Otros ejemplos son

   mayorProductoSumandos 10   ==  36
   mayorProductoSumandos 100  ==  7412080755407364
   length (show (mayorProductoSumandos (10^8)))  ==  15904042

Usando la función mayorProductoSumandos, calcular la respuesta al problema de la Olimpiada.

Leer más…