Definir la lista
sucesion :: [Integer]
cuyos elementos son los términos de la sucesión
107811/3, 110778111/3, 111077781111/3, 111107777811111/3, ...
Por ejemplo,
λ> take 5 sucesion [35937,36926037,37025927037,37035925937037,37036925926037037] λ> length (show (sucesion2 !! (3*10^6))) 9000005
Comprobar con QuickCheck que todos los términos de la sucesión son cubos perfectos.
Un enlace primo de longitud n es una permutación de 1, 2, ..., n comienza con 1 y termina con n, tal que la suma de cada par de términos adyacentes es primo. Por ejemplo, para n = 6 la lista [1,4,3,2,5,6] es un enlace primo ua que las sumas de los pares de términos adyacentes son los números primos 5, 7, 5, 7, 11.
Definir la función
enlacesPrimos :: Int -> [[Int]]
tal que (enlacesPrimos n) es la lista de los enlaces primos de longitud n. Por ejemplo,
λ> enlacesPrimos 6 [[1,4,3,2,5,6]] λ> enlacesPrimos 7 [[1,4,3,2,5,6,7],[1,6,5,2,3,4,7]] λ> enlacesPrimos 8 [[1,2,5,6,7,4,3,8],[1,4,7,6,5,2,3,8],[1,2,3,4,7,6,5,8],[1,6,7,4,3,2,5,8]] λ> length (enlacesPrimos 10) 24 λ> length (head (enlacesPrimos (5*10^4))) 50000
La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito que resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente los resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa pod D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 2345 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.
La sucesión de las raices digitales definida por un número a es la sucesión a(n) tal que a(0) = a y a(n+1) es la suma de a(n) y la raíz dígital de a(n). Por ejemplo, los primeros términos de la sucesión de las raíces digitales definida por 1 son
1,2,4,8,16,23,28,29,31,35,43,50,55,56,58,62,70,77,82,83,85,89,...
Definir la función
raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales :: Integer -> [Integer]
tal que (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales a) es la lista de las raíces digitales de los elementos de la sucesión de raíces digitales definidas por a. Por ejemplo,
λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 1) [1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2] λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 2021) [5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1] λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales (9^100) !! (10^9) 9
La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa pod D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 23451 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.
La sucesión de las raices digitales definida por un número a es la sucesión a(n) tal que a(0) = a y a(n+1) es la suma de a(n) y la raíz dígital de a(n). Por ejemplo, los primeros términos de la sucesión de las raíces digitales definida por 1 son
1,2,4,8,16,23,28,29,31,35,43,50,55,56,58,62,70,77,82,83,85,89,...
Se observa que el menor número que no pertenece a la sucesión anterior es 3. Los primeros términos de la sucesión de las raíces digitales definida por 3 son
3,6,12,15,21,24,30,33,39,42,48,51,57,60,66,69,75,78,84,87,93,96,...
Se observa que el menor número que no pertenece a las 2 sucesiones anteriores es 5. Los primeros términos de la sucesión de las raíces digitales definida por 5 son
5,10,11,13,17,25,32,37,38,40,44,52,59,64,65,67,71,79,86,91,92,94,...
Definir la función
sucesionSucesionesRaicesDigitales :: [[Integer]]
tal que sus elementos son las sucesiones de raíces digitales tal el primer elemento de cada sucesión es el menor elemento que no pertenece a las sucesiones anteriores. Por ejemplo,
λ> map (take 5) (take 4 sucesionSucesionesRaicesDigitales) [[1,2,4,8,16],[3,6,12,15,21],[5,10,11,13,17],[7,14,19,20,22]]
Comprobar con QuickCheck que sucesionSucesionesRaicesDigitales tiene exactamente 5 elementos.
La sucesión Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...
La sucesión comienza con los números 1 y 1 y, a partir de estos, cada término es la suma de los dos anteriores.
Definir la función
raizDigitalFibonacci :: Integer -> Integer
tal que (raizDigitalFibonacci n) es la raíz digital del n-ésimo número de Fibonacci. Por ejemplo,
raizDigitalFibonacci 6 == 4 raizDigitalFibonacci 7 == 3 raizDigitalFibonacci (3*10^7) == 1
Los números de Fermat son los número de la forma F(n) = 2^(2^n) + 1, donde n esun número natural.
Definir la función
raizDigitalFermat :: Integer -> Integer
tal que (raizDigitalFermat n) es la raíz digital del n-ésimo número de Fermat. Por ejemplo,
raizDigitalFermat 3 == 5 raizDigitalFermat (10^2021) == 8
La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente los resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa pod D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 23451 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.
La persistencia aditiva de un número entero positivo es el número de veces que hay sumar sus dígitos para llegar a su raíz digital. Por ejemplo, la persistencia aditiva de 2718 es 2: primero encontramos que 2+7+1+8 = 18, luego que 1+8 = 9.
Definir la función
persistencia :: Integer -> Integer
tal que (persistencia n) es la persistencia del número entero positivo n. Por ejemplo,
persistencia 2718 == 2 persistencia 199 == 3 persistencia 19999999999999999999999 == 4
La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente los resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa por D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 23451 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.
Definir la función
raizDigitalPotencia :: Integer -> Integer
tal que (raizDigitalPotencia n) es la raíz digital de 2^n. Por ejemplo,
raizDigitalPotencia 6 == 1 raizDigitalPotencia (10^(10^8)) == 7
La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito que resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente los resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa pod D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 23451 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.
Definir la función
raizDigital :: Integer -> Integer
tal que (raizDigital n) es la raíz digital del entero positivo n. Por ejemplo,
raizDigital 23451 == 6
Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de la raíz digital:
Una función f de pares de números naturales en números naturales es estrictamente creciente en ambos argumentos si
Por ejemplo, la función f definida por f(x,y) = x^2+3^y escreciente en ambos argumentos.
Las antiimágenes por f de t son los pares (x,y) tales que f(x,y) = t. Por ejemplo, las antimágenes por f(x,y) = x^2+3^y de 82 son los pares (1,4) y (9,0).
Definir la función
antiimagenes :: Integral a => ((a,a) -> a) -> a -> [(a,a)]
tal que (antiimagenes f t) es la lista de las antiimágenes por f de t, donde se supone que f es una función de pares de números naturales en números naturales que es estrictamente creciente en ambos argumentos. Por ejemplo,
antiimagenes (\(x,y) -> x^2+3^y) 82 == [(1,4),(9,0)] antiimagenes (\(x,y) -> x^2+3^y) 387421785 == [(36,18)]