Un número está balanceado si tiene un número par de divisores primos (contados con su multiplicidad). Por ejemplo, 60 es balanceado porque tiene 4 divisores primos (2, 2, 3 y 5).

Un balanceador del entero positivo k es par de enteros positivos (a,b) tales que a es menor que b y, para todo x entre 1 y k, el valor del polinomio P(x) = (x+a)*(x+b) es un número balanceado. Por ejemplo, (2,4) es un balanceador de 3 ya que

P(1) = (1+2)*(1+4) = 15 = 3*5     es balanceado
P(2) = (2+2)*(2+4) = 24 = 2*2*2*3 es balanceado
P(3) = (3+2)*(3+4) = 35 = 5*7     es balanceado

Definir la función

balanceadores :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (balanceadores k) es el conjunto de los balanceadores de k. Por ejemplo,

λ> take 7 (balanceadores 3)
[(2,4),(1,6),(5,9),(1,11),(6,11),(7,12),(8,14)]
λ> take 7 (balanceadores 5)
[(8,14),(10,17),(6,18),(12,22),(13,23),(8,24),(14,24)]
λ> take 7 (balanceadores 3)
[(2,4),(1,6),(5,9),(1,11),(6,11),(7,12),(8,14)]
λ> take 7 (balanceadores 4)
[(6,11),(8,14),(9,15),(10,17),(6,18),(11,18),(7,19)]
λ> take 7 (balanceadores 5)
[(8,14),(10,17),(6,18),(12,22),(13,23),(8,24),(14,24)]
λ> head (balanceadores 19)
(1325,2827)

Nota: Este ejercicio está basado en el problema N2 de la Olimpíada Internacional de Matemáticas (IMO) del 2009.

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Los máximos locales de [7,2,3,4,4,4,0,1,1,0,1,4,9] son el 4 (que se encuentra en la posicón 3 (empezando a contar en 0)) y el 1 que se encuentra en la posición 7. En cada meseta, por ejemplo la formada por los tres 4 en las posiciones 3, 4 y 5, sólo se considera el primer elemento (en este caso, el de la posición 3) y se compara con el primero después de la meseta (en este caso, el 0 de la posición 6).

Los extremos de la lista no se consideran máximos locales. Por ejmplo, la listas [1,2,2,2,3] y [1,2,2,2,2] no tienen máximos locales.

Definir la función

maximosLocales :: Ord a => [a] -> [(a,Int)]

tal que (maximosLocales xs) es la lista de los máximos locales de xs junto con sus posiciones. Por ejemplo,

maximosLocales [7,2,3,4,4,4,0,1,1,0,1,4,9]  ==  [(4,3),(1,7)]
maximosLocales [1,2,2,2,3]  ==  []
maximosLocales [1,2,2,2,2]  ==  []

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Dada una lista de enteros positivos, se interpreta cada elemento el máximo número de pasos que se puede avanzar desde dicho elemento. Por ejemplo, para la lista [1,3,5,8,9,2,6,7,6,8,9], desde sólo se puede avanzar un paso (hasta el 3), desde el 3 se puede avanzar 3 pasos (hasta el 5, 8 ó 9), y así sucesivamente. En dicha lista, el mínimo número de saltos que hay que dar para alcanzar el final es 3 (el recorrido es 1, 3, 8, 9).

Definir la función

minimoSaltos :: [Int] -> Int

tal que (minimoSaltosxs) es el mínimo número de saltos que hay que dar en la lista xs para alcanzar el final. Por ejemplo,

minimoSaltos [1,3,5,8,9,2,6,7,6,8,9]  ==  3
minimoSaltos (replicate 10 1)         ==  9
minimoSaltos [1..25]                  ==  5

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Un número oblongo es un número que es el producto de dos números naturales consecutivos; es decir, n es un número oblongo si existe un número natural x tal que n = x(x+1). Por ejemplo, 42 es un número oblongo porque 42 = 6 x 7.

La sucesión de los números oblongos es

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, ...

En el intervalo [10,30] hay 3 números oblongos (el 12, el 20 y el 30).

Definir las funciones

oblongos            :: [Integer]
oblongosEnIntervalo :: Integer -> Integer -> Int

tales que

• oblongos es la sucesión de los números oblongos. Por ejemplo,

take 15 oblongos   == [0,2,6,12,20,30,42,56,72,90,110,132,156,182,210]
oblongos !! 50     == 2550
oblongos !! (10^5) == 10000100000
oblongos !! (10^6) == 1000001000000
oblongos !! (10^7) == 100000010000000

• (oblongosEnIntervalo a b) es la cantidad de números oblongos en el intervalo [a,b]. Por ejemplo,

oblongosEnIntervalo 10 30           ==  3
oblongosEnIntervalo (10^3) (10^10)  ==  99968
oblongosEnIntervalo (10^3) (10^12)  ==  999968
oblongosEnIntervalo (10^3) (10^14)  ==  9999968

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Para la lista [23,12,77,82], las sumas obtenidas eliminando todas las ocurrencias de uno de sus dígitos son

+ Eliminando el 1: 23 +  2 + 77 + 82 = 184
+ Eliminando el 2:  3 + 1  + 77 + 8  =  89
+ Eliminando el 3: 2  + 12 + 77 + 82 = 173
+ Eliminando el 7: 23 + 12      + 82 = 117
+ Eliminando el 8: 23 + 12 + 77 +  2 = 114

El mínimo de las sumas es 89 (que se obtiene eliminando todas las ocurrencias del dígito 2).

Definir la función

minimaSumaEliminandoDigito :: [Integer] -> Integer

tal que (minimaSumaEliminandoDigito xs) es el mínimo de las sumas obtenidas eliminando todas las ocurrencias de uno de los dígitos de xs. Por ejemplo,

minimaSumaEliminandoDigito [23,12,77,82]  ==  89
minimaSumaEliminandoDigito [2312,7,4,82]  ==  50

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Definir las funciones

sumas  :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
esSuma :: Integer -> Integer -> Bool

tales que

• (sumas n k) es la lista de las descomposiones de n en k sumandos pares y distintos. Por ejemplo,

sumas 16 3  ==  [[2,4,10],[2,6,8]]
sumas 18 4  ==  []

• (esSuma n k) se verifica si n se puede escribir como suma de k sumandos pares y distintos. Por ejemplo,

esSuma 16 3  ==  True
esSuma 18 4  ==  False
esSuma (10^5000) (10^7)  ==  True
esSuma (11^5000) (10^7)  ==  False

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El menor número con 2¹ divisores es el 2, ya que tiene 2 divisores (el 1 y el 2) y el anterior al 2 (el 1) sólo tiene 1 divisor (el 1).

El menor número con 2² divisores es el 6, ya que tiene 4 divisores (el 1, 2, 3 y 6) y sus anteriores (el 1, 2, 3, 4 y 5) tienen menos de 4 divisores (tienen 1, 1, 1, 3 y 1, respectivamente).

El menor número con 2³ divisores es el 24, ya que tiene 8 divisores (el 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24) y sus anteriores (del 1 al 23) tienen menos de 8 divisores.

El menor número con 16 divisores es el 120, ya que tiene 16 divisores (el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 y 120) y sus anteriores (del 1 al 119) tienen menos de 16 divisores.

Definir la función

menor :: Integer -> Integer

tal que (menor n) es el menor número con 2^n divisores. Por ejemplo,

menor 1  ==  2
menor 2  ==  6
menor 3  ==  24
menor 4  ==  120
length (show (menor (4*10^4)))  ==  207945

Comprobar con QuickCheck que, para todo k >=0, (menor (2^k)) es un divisor de (menor (2^(k+1))).

Nota: Este ejercicio está basado en el problema N1 de la Olimpíada Internacional de Matemáticas (IMO) del 2011.

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Una terna (a,b,c) de números enteros positivos es especial si se verifica que ab-c, bc-a y ca-b son potencias de 2. Por ejemplo, (3,5,7) es especial ya que

3 * 5 - 7 =  8 = 2^3
5 * 7 - 3 = 32 = 2^5
7 * 3 - 5 = 16 = 2^4

Definir las funciones

esEspecial       :: (Integer,Integer,Integer) -> Bool
ternasEspeciales :: [(Integer,Integer,Integer)]

tales que

• (esEspecial t) se verifica si t es una terna especial. Por ejemplo,

esEspecial (3,5,7)  ==  True
esEspecial (5,7,9)  ==  False

• ternasEspeciales es la lista de las ternasEspeciales ordenadas según su suma y las de la misma suma por orden lexicográfico. Por ejemplo,

λ> take 16 ternasEspeciales
[(2,2,2),
 (2,2,3),(2,3,2),(3,2,2),
 (3,5,7),(3,7,5),(5,3,7),(5,7,3),(7,3,5),(7,5,3),
 (2,6,11),(2,11,6),(6,2,11),(6,11,2),(11,2,6),(11,6,2)]

Comprobar con QuickCheck que sólo hay 16 ternas especiales; es decir, para toda terna t de enteros positivos, t pertenece a la lista de los 16 primeros elementos de ternasEspeciales o no es una terna especial.

Nota: Este ejercicio está basado en el problema N5 de la Olimpíada Internacional de Matemáticas (IMO) del 2015.

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Las ternas de números enteros positivos se pueden ordenar por su suma y las de la misma suma por orden lexicográfico. Por ejemplo,

• ternas de suma 3:

(1,1,1)

• ternas de suma 4:

(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)

• ternas de suma 5:

(1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(2,1,2),(2,2,1),(3,1,1)

• ternas de suma 6

(1,1,4),(1,2,3),(1,3,2),(1,4,1),(2,1,3),(2,2,2),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(4,1,1)

y así sucesivamente.

Definir la función

ternas :: [(integer,integer,integer)]

tal que ternas es la lista de las ternas de enteros positivos con el orden descrito anteriormente. por ejemplo,

λ> take 20 ternas
[(1,1,1),
 (1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),
 (1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(2,1,2),(2,2,1),(3,1,1),
 (1,1,4),(1,2,3),(1,3,2),(1,4,1),(2,1,3),(2,2,2),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(4,1,1)]

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Definir la función

mayorBorrando :: Int -> Integer -> Integer

tal que (mayorBorrando k n) es el mayor número obtenido borrando k dígitos de n (se supone que n tiene más de k dígitos). Por ejemplo,

mayorBorrando 1 6782334  ==  782334
mayorBorrando 3 6782334  ==  8334
mayorBorrando 3 10020    ==  20
mayorBorrando 1000000 (4256 + 10^1000004) == 14256

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