Definir la función
borra :: Int -> [a] -> [[a]]
tal que (borra n xs) es la lista de las listas obtenidas borrando n elementos de xs. Por ejemplo,
borra 0 "abcd" == ["abcd"] borra 1 "abcd" == ["abc","abd","acd","bcd"] borra 2 "abcd" == ["ab","ac","ad","bc","bd","cd"] borra 3 "abcd" == ["a","b","c","d"] borra 4 "abcd" == [""] borra 5 "abcd" == [] borra 6 "abcd" == [] length (borra 2 [1..300]) == 44850
Definir la función
paresNoDivisible :: [(Integer, Integer)]
tal que paresNoDivisible es la lista de los pares (n,k) tales que n < k y k no es divisible por n. Por ejemplo,
λ> take 10 paresNoDivisible [(2,3),(3,4),(2,5),(3,5),(4,5),(4,6),(5,6),(2,7),(3,7),(4,7)]
Se observa que en el resultado los pares se ordenan primero según su segundo elemento y los que tienen el mismo segundo elemento se ordenan por el primer elemento.
Un par especial es un par de enteros positivos (n,k) tales que existe algún s tal que \(s \times n\) y \(s \times k\) tienen el mismo número de divisores. Por ejemplo, (3,4) es un par especial ya que \(2 \times 3\) y \(2 \times 4\) tienen 4 divisores.
Comprobar con QuickCheck todos los elementos de paresNoDivisible son pares especiales.
Nota: Este ejercicio está basado en el problema N1 de la Olimpíada Internacional de Matemáticas (IMO) del 2018.
Los números armónicos son las sumas de los inversos de de los primeros números enteros positivos; es decir, el n-ésimo número armónico es
H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ··· + 1/n
Los primeros números armónicos son
1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, ..
Definir, usando la librería de los números racionales (Data.Ratio), las funciones
armonico :: Integer -> Rational armonicos :: [Rational] esEntero :: Rational -> Bool
tales que
armonico 2 == 3 % 2 armonico 3 == 11 % 6 armonico 4 == 25 % 12 armonico 5 == 137 % 60
take 5 armonicos == [1 % 1,3 % 2,11 % 6,25 % 12,137 % 60]
esEntero (1 % 7) == False esEntero (1 % 7 + 20 % 7) == True
Comprobar con QuickCheck que
nigún número armónico, excepto el primero, es un número entero y
la diferencia de dos números armónicos distintos nunca es un número entero.
Nota: Este ejercicio está basado en el artículo Sums of consecutive reciprocals publicado por John D. Cook en su blog el 23 de enero de 2021.
Definir la función
particion :: Int -> [Int] -> [[Int]]
tal que (particion n xs) es la lista de los elementos de xs, en el mismo orden, agrupados en listas con sumas menores o iguales que n. Por ejemplo,
particion 6 [1,1,1,3,2,2,2,1,2,2,3] == [[1,1,1,3],[2,2,2],[1,2,2],[3]] particion 5 [1,1,1,3,2,2,2,1,2,2,3] == [[1,1,1],[3,2],[2,2,1],[2,2],[3]] particion 4 [1,1,1,3,2,2,2,1,2,2,3] == [[1,1,1],[3],[2,2],[2,1],[2,2],[3]] particion 3 [1,1,1,3,2,2,2,1,2,2,3] == [[1,1,1],[3],[2],[2],[2,1],[2],[2],[3]] particion 2 [1,1,1,3,2,2,2,1,2,2,3] == []
Definir las funciones
numerosConNueve :: [Integer] conNueve :: Integer -> Integer
tales que
λ> take 20 numerosConNueve [9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,109]
conNueve 1 == 0 conNueve 10 == 1 conNueve 90 == 10 length (show (conNueve (10^3))) == 3 length (show (conNueve (10^30))) == 30 length (show (conNueve (10^300))) == 300 length (show (conNueve (10^3000))) == 3000 length (show (conNueve (10^30000))) == 30000
La terna (n,a,b) es una terna pitagórica si n² = a²+b² y b < a < n. Por ejemplo, (5,4,3) y (10,8,6) son ternas pitagóricas.
Una terna pitagórica es primitiva si sus tres componentes son primos entre sí. Por ejemplo, (5,4,3) es una terna pitagórica primitiva y (10,8,6) es una terna pitagórica no primitiva (ya que sus tres lados son divisibles por 2).
Los elementos (n,a,b) de una terna pitagórica son las longitudes de los lados de un triágulo rectángulo; concretamente n es la longitud de la hipotenusa, a la del cateto mayor y b la del cateto menor. Su perímetro es n+a+b.
Definir la función
ternasPPPDC :: [(Integer,Integer,Integer)]
tal que ternasPPPDC es la lista de las ternas pitagóricas primitivas tales que su perímetro es divisibe por alguno de los catetos. Por ejemplo,
λ> take 5 ternasPPPDC [(5,4,3),(13,12,5),(17,15,8),(25,24,7),(37,35,12)] λ> [n | (n,a,b) <- take 15 ternasPPPDC] [5,13,17,25,37,41,61,65,85,101,113,145,145,181,197] λ> ternasPPPDC !! 80 (4705,4704,97)
Comprobar con QuickCheck que existen infinitas ternas pitagóricas primitivas tales que su perímetro es divisibe por alguno de los catetos; es decir, para todo x existe alguna terna (n,a,b) en ternasPPPDC tal que n es mayor que x.
Referencia: Este ejercicio está basado en el artículo Terna pitagórica en la que el perímetro es múltiplo de uno de los catetos publicado por Antonio Roldán en "Números y hoja de cálculo" el 21 de enero de 2021.
La sucesión de Dottie correspondiente a un número x se obtiene a partir de x aplicándole la función coseno al término anterior. Por ejemplo, empezando en el 2021 los términos de la sucesión de Dottie son
d(0) = 2021 d(1) = cos(2021) = -0.5768544484396986 d(2) = cos(-0.5768544484396986) = 0.8381823464377144 d(3) = cos(0.8381823464377144) = 0.6688152257126013 d(4) = cos(0.6688152257126013) = 0.7845568438177061 d(5) = cos(0.7845568438177061) = 0.7077014336446841 d(6) = cos(0.7077014336446841) = 0.7598581544800473 d(7) = cos(0.7598581544800473) = 0.7249337238692606 d(8) = cos(0.7249337238692606) = 0.7485433703735275
Definir las funciones
sucesionDottie :: Double -> [Double] limite :: [Double] -> Double -> Int -> Double
tales que
λ> mapM_ print (take 10 (sucesionDottie 2021)) 2021.0 -0.5768544484396986 0.8381823464377144 0.6688152257126013 0.7845568438177061 0.7077014336446841 0.7598581544800473 0.7249337238692606 0.7485433703735275 0.7326809874975466 λ> mapM_ print (take 10 (drop 85 (sucesionDottie 2021))) 0.7390851332151601 0.739085133215161 0.7390851332151605 0.7390851332151608 0.7390851332151606 0.7390851332151607 0.7390851332151607 0.7390851332151607 0.7390851332151607 0.7390851332151607
λ> limite [(2*n+1)/(n+5) | n <- [1..]] 0.001 300 1.993991989319092 λ> limite [(2*n+1)/(n+5) | n <- [1..]] 1e-6 300 1.9998260062637745 λ> limite [(1+1/n)**n | n <- [1..]] 0.001 300 2.7155953364173175 λ> limite (sucesionDottie 2021) 1e-16 100 0.7390851332151607 λ> limite (sucesionDottie 27) 1e-16 100 0.7390851332151607
Comprobar con QuickCheck que, para todo número x, el límite de la sucesión de Dottie generada por x es mismo; es decir, si x e y son dos números cualesquiera, entonces
limite (sucesionDottie x) 1e-16 100 == limite (sucesionDottie y) 1e-16 100
Dicho límite es el número de Dottie.
Referencia: Este ejercicio está basado en el artículo El número de Dottie publicado por Miguel Ángel Morales en Gaussianos el 20 de enero de 2021.
Los árboles binarios se pueden representar mediante el tipo Arbol definido por
data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving Show
Por ejemplo, el árbol
7
/ \
/ \
/ \
4 9
/ \ / \
1 3 5 6
se puede representar por
N 7 (N 4 (H 1) (H 3)) (N 9 (H 5) (H 6))
Un árbol está acotado por un conjunto ys si todos los valores de sus hojas y sus nodos pertenecen a ys. Por ejemplo, el árbol anterior está acotado por [1..10] pero no lo está por [1..7].
Un árbol es monovalorado si todos sus elementos son iguales. Por ejemplo, de los siguientes árboles sólo son monovalorados los dos primeros
5 9 5 9
/ \ / \ / \ / \
5 5 9 9 5 6 9 7
/ \ / \
9 9 9 9
Definir las funciones
acotado :: Eq a => Arbol a -> [a] -> Bool monovalorados :: Arbol -> [Arbol]
tales que
acotado (N 7 (N 4 (H 1) (H 3)) (N 9 (H 5) (H 6))) [1..10] == True acotado (N 7 (N 4 (H 1) (H 3)) (N 9 (H 5) (H 6))) [1..7] == False
monovalorado (N 5 (H 5) (H 5)) == True monovalorado (N 5 (H 5) (H 6)) == False monovalorado (N 9 (H 9) (N 9 (H 9) (H 9))) == True monovalorado (N 9 (H 9) (N 7 (H 9) (H 9))) == False monovalorado (N 9 (H 9) (N 9 (H 7) (H 9))) == False
Definir la función
conRepeticionesAcotadas :: Eq a => [a] -> Int -> [a]
tal que (conRepeticionesAcotadas xs n) es una lista que contiene cada elemento de xs como máximo n veces sin reordenar (se supone que n es un número positivo).. Por ejemplo,
conRepeticionesAcotadas [1,2,3,1,2,1,3,2,3,5] 1 == [1,2,3,5] conRepeticionesAcotadas [1,2,3,1,2,1,3,2,3,5] 2 == [1,2,3,1,2,3,5] conRepeticionesAcotadas [1,2,3,1,2,1,3,2,3,5] 3 == [1,2,3,1,2,1,3,2,3,5] conRepeticionesAcotadas [1,2,3,1,2,1,3,2,3,5] 4 == [1,2,3,1,2,1,3,2,3,5]
Definir la función
potenciasDeDosMasCercanas :: [Integer] -> [Integer]
tal que (potenciasDeDosMasCercanas xs) es la lista sustituyendo cada elemento de xs por su potencia de dos más cercana (en el caso de que haya dos equidistantes se elige la menor). Por ejemplo,
potenciasDeDosMasCercanas2 [6,7,8,9,2021] == [4,8,8,8,2048]