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Cálculo de pi mediante la serie de Nilakantha

Misceláneas

Una serie infinita para el cálculo de pi, publicada por Nilakantha en el siglo XV, es

           4       4       4       4
pi = 3 + ----- - ----- + ----- - ------ + ···
         2x3x4   4x5x6   6x7x8   8x9x10

Definir las funciones

aproximacionPi :: Int -> Double
tabla          :: FilePath -> [Int] -> IO ()

tales que

  • (aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi obtenido sumando los n primeros términos de la serie de Nilakantha. Por ejemplo,
aproximacionPi 0        ==  3.0
aproximacionPi 1        ==  3.1666666666666665
aproximacionPi 2        ==  3.1333333333333333
aproximacionPi 3        ==  3.145238095238095
aproximacionPi 4        ==  3.1396825396825396
aproximacionPi 5        ==  3.1427128427128426
aproximacionPi 10       ==  3.1414067184965018
aproximacionPi 100      ==  3.1415924109719824
aproximacionPi 1000     ==  3.141592653340544
aproximacionPi 10000    ==  3.141592653589538
aproximacionPi 100000   ==  3.1415926535897865
aproximacionPi 1000000  ==  3.141592653589787
pi                      ==  3.141592653589793
  • (tabla f ns) escribe en el fichero f las n-ésimas aproximaciones de pi, donde n toma los valores de la lista ns, junto con sus errores. Por ejemplo, al evaluar la expresión
tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100]

hace que el contenido del fichero "AproximacionesPi.txt" sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|   10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 |
|   20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 |
|   30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 |
|   40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 |
|   50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 |
|   60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 |
|   70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 |
|   80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 |
|   90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 |
|  100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 |
+------+----------------+----------------+

al evaluar la expresión

tabla "AproximacionesPi.txt" [0,500..5000]

hace que el contenido del fichero "AproximacionesPi.txt" sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|  500 | 3.141592651602 | 0.000000001988 |
| 1000 | 3.141592653341 | 0.000000000249 |
| 1500 | 3.141592653516 | 0.000000000074 |
| 2000 | 3.141592653559 | 0.000000000031 |
| 2500 | 3.141592653574 | 0.000000000016 |
| 3000 | 3.141592653581 | 0.000000000009 |
| 3500 | 3.141592653584 | 0.000000000006 |
| 4000 | 3.141592653586 | 0.000000000004 |
| 4500 | 3.141592653587 | 0.000000000003 |
| 5000 | 3.141592653588 | 0.000000000002 |
+------+----------------+----------------+

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División de cadenas

Misceláneas

Definir la función

division :: String -> [String]

tal que (division cs) es la lista de las palabras formadas por dos elementos consecutivos de cs y, en el caso de que la longitud de cs sea impar, el último elemento de la última palabra es el carácter de subrayado. Por ejemplo,

division "pandemia"    ==  ["pa","nd","em","ia"]
division "covid2019"   ==  ["co","vi","d2","01","9_"]
division "covid 2019"  ==  ["co","vi","d ","20","19"]

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Inversión de palabras

Misceláneas

Definir la función

palabrasInvertidas :: String -> String

tal que (palabrasInvertidas cs) es la cadena obtenida invirtiendo las palabras de cs. Por ejemplo,

λ> palabrasInvertidas "Del principio al final"
"final al principio Del"
λ> palabrasInvertidas "una a una"
"una a una"

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Primero no consecutivo

Misceláneas

Definir la función

primeroNoConsecutivo :: (Eq a,Enum a) => [a] -> Maybe a

tal que (primeroNoConsecutivo xs) es el primer elemento de la lista xs que no es igual al siguiente de su elemento anterior en xs o Nothing si tal elemento no existe. Por ejemplo

primeroNoConsecutivo [1,2,3,4,6,7,8] == Just 6
primeroNoConsecutivo "bcdfg"         == Just 'f'
primeroNoConsecutivo "bcdef"         == Nothing

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Producto de Fibonaccis consecutivos

Misceláneas

Los números de Fibonacci son los números F(n) de la siguiente sucesión

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

que comienza con 0 y 1 y los siguientes términos son las sumas de los dos anteriores.

Un número x es el producto de dos números de Fibonacci consecutivos si existe un n tal que

F(n) * F(n+1) = x

y su prueba es (F(n),F(n+1),True). Por ejemplo, 714 es el producto de dos números de Fibonacci consecutivos ya que

F(8) = 21, F(9) = 34 y 714 = 21 * 34.

Su prueba es (21, 34, True).

Un número x no es el producto de dos números de Fibonacci consecutivos si no existe un n tal que

F(n) * F(n+1) = x

y su prueba es (F(m),F(m+1),False) donde m es el menor número tal que

F(m) * F(m+1) > x

Por ejemplo, 800 no es el producto de dos números de Fibonacci consecutivos, ya que

F(8) = 21, F(9) = 34, F(10) = 55 y 21 * 34 < 800 < 34 * 55.

Su prueba es (34, 55, False),

Definir la función

productoFib :: Integer -> (Integer, Integer, Bool)

tal que (productoFib x) es la prueba de que es, o no es, el producto de dos números de Fibonacci consecutivos. Por ejemplo,

productoFib 714  == (21,  34, True)
productoFib 800  == (34,  55, False)
productoFib 4895 == (55,  89, True)
productoFib 5895 == (89, 144, False)

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Ordenación pendular

Misceláneas

La ordenación pendular de una lista xs es la lista obtenida organizando sus elementos de manera similar al movimiento de ida y vuelta de un péndulo; es decir,

  • El menor elemento de xs se coloca en el centro de la lista.
  • El siguiente elemento se coloca a la derecha del menor.
  • El siguiente elemento se coloca a la izquierda del menor y así sucesivamente, de una manera similar a la de un péndulo.

Por ejemplo, la ordenación pendular de [6,6,8,5,10] es [10,6,5,6,8].

Definir la función

pendulo :: [Int] -> [Int]

tal que (pendulo xs) es la ordenación pendular de xs. Por ejemplo,

pendulo [6,6,8,5,10]                 == [10,6,5,6,8]
pendulo [-9,-2,-10,-6]               == [-6,-10,-9,-2]
pendulo [11,-16,-18,13,-11,-12,3,18] == [13,3,-12,-18,-16,-11,11,18]

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Avistamientos de la pelota

Misceláneas

Un niño está jugando con una pelota en el noveno piso de un edificio alto. La altura de este piso, h, es conocida. Deja caer la pelota por la ventana. La pelota rebota una r-ésima parte de su altura (por ejemplo, dos tercios de su altura). Su madre mira por una ventana a w metros del suelo (por ejemplo, a 1.5 metros). ¿Cuántas veces verá la madre a la pelota pasar frente a su ventana incluyendo cuando está cayendo y rebotando?

Se deben cumplir tres condiciones para que el experimento sea válido:

  • La altura "h" debe ser mayor que 0
  • El rebote "r" debe ser mayor que 0 y menor que 1
  • La altura de la ventana debe ser mayor que 0 y menor que h.

Definir la función

numeroAvistamientos :: Double -> Double -> Double -> Integer

tal que (numeroAvistamientos h r v) es el número de avistamientos de la pelota si se cumplen las tres condiciones anteriores y es -1 en caso contrario. Por ejemplo,

numeroAvistamientos 3    0.66 1.5  ==  3
numeroAvistamientos 30   0.66 1.5  ==  15
numeroAvistamientos (-3) 0.66 1.5  ==  -1
numeroAvistamientos 3    (-1) 1.5  ==  -1
numeroAvistamientos 3    2    1.5  ==  -1
numeroAvistamientos 3    0.5  (-1) ==  -1
numeroAvistamientos 3    0.5  4    ==  -1

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Pandemia

Misceláneas

¡El mundo está en cuarentena! Hay una nueva pandemia que lucha contra la humanidad. Cada continente está aislado de los demás, pero las personas infectadas se han propagado antes de la advertencia.

En este problema se representará el mundo por una cadena como la siguiente

"01000000X000X011X0X"

donde 0 representa no infectado, 1 representa infectado y X representa un océano

Las reglas de propagación son:

  • El virus no puede propagarse al otro lado de un océano.
  • Si una persona se infecta, todas las personas de este continente se infectan también.
  • El primer y el último continente no están conectados.

El problema consiste en encontrar el porcentaje de la población humana que se infectó al final. Por ejemplo,

inicio:     "01000000X000X011X0X"
final:      "11111111X000X111X0X"
total:      15
infectados: 11
porcentaje: 100*11/15 = 73.33333333333333

Definir la función

porcentajeInfectados :: String -> Double

tal que (porcentajeInfectados xs) es el porcentaje final de infectados para el mapa inicial xs. Por ejemplo,

porcentajeInfectados "01000000X000X011X0X"  == 73.33333333333333
porcentajeInfectados "01X000X010X011XX"     == 72.72727272727273
porcentajeInfectados "XXXXX"                == 0.0
porcentajeInfectados "0000000010"           == 100.0
porcentajeInfectados "X00X000000X10X0100"   == 42.857142857142854

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Producto de Kronecker

Misceláneas

Si \(A\) es una matriz \(m \times n\) y \(B\) es una matriz \(p \times q\), entonces el producto de Kronecker \(A \otimes B\) es la matriz bloque \(mp \times nq\)

Producto de Kronecker

Más explícitamente, tenemos

Producto de Kronecker

Por ejemplo,

Producto de Kronecker

Definir la función

kronecker :: Num t => Matrix t -> Matrix t -> Matrix t

tal que (kronecker a b) es el producto de Kronecker de las matrices a y b. Por ejemplo,

λ> kronecker (fromLists [[1,2],[3,1]]) (fromLists [[0,3],[2,1]])
┌         ┐
│ 0 3 0 6 │
│ 2 1 4 2 │
│ 0 9 0 3 │
│ 6 3 2 1 │
└         ┘
λ> kronecker (fromLists [[1,2],[3,4]]) (fromLists [[2,1],[-1,0],[3,2]])
┌             ┐
│  2  1  4  2 │
│ -1  0 -2  0 │
│  3  2  6  4 │
│  6  3  8  4 │
│ -3  0 -4  0 │
│  9  6 12  8 │
└             ┘
λ> kronecker (fromLists [[2,1],[-1,0],[3,2]]) (fromLists [[1,2],[3,4]])
┌             ┐
│  2  4  1  2 │
│  6  8  3  4 │
│ -1 -2  0  0 │
│ -3 -4  0  0 │
│  3  6  2  4 │
│  9 12  6  8 │
└             ┘

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