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Sumas alternas de factoriales

Misceláneas

Las primeras sumas alternas de los factoriales son números primos; en efecto,

3! - 2! + 1! = 5
4! - 3! + 2! - 1! = 19
5! - 4! + 3! - 2! + 1! = 101
6! - 5! + 4! - 3! + 2! - 1! = 619
7! - 6! + 5! - 4! + 3! - 2! + 1! = 4421
8! - 7! + 6! - 5! + 4! - 3! + 2! - 1! = 35899

son primos, pero

9! - 8! + 7! - 6! + 5! - 4! + 3! - 2! + 1! = 326981

no es primo.

Definir las funciones

sumaAlterna         :: Integer -> Integer
sumasAlternas       :: [Integer]
conSumaAlternaPrima :: [Integer]

tales que

  • (sumaAlterna n) es la suma alterna de los factoriales desde n hasta 1. Por ejemplo,
sumaAlterna 3  ==  5
sumaAlterna 4  ==  19
sumaAlterna 5  ==  101
sumaAlterna 6  ==  619
sumaAlterna 7  ==  4421
sumaAlterna 8  ==  35899
sumaAlterna 9  ==  326981
  • sumasAlternas es la sucesión de las sumas alternas de factoriales. Por ejemplo,
λ> take 10 sumasAlternas
[0,1,1,5,19,101,619,4421,35899,326981]
  • conSumaAlternaPrima es la sucesión de los números cuya suma alterna de factoriales es prima. Por ejemplo,
λ> take 8 conSumaAlternaPrima
[3,4,5,6,7,8,10,15]

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Árbol binario de divisores

Misceláneas

El árbol binario de los divisores de 24 es

 90
 /\
2  45
   /\
  3  15
     /\
    3  5

Se puede representar por

N 90 (H 2) (N 45 (H 3) (N 15 (H 3) (H 5)))

usando el tipo de dato definido por

data Arbol = H Int
           | N Int Arbol Arbol
  deriving (Eq, Show)

Análogamente se obtiene el árbol binario de cualquier número x: se comienza en x y en cada paso se tiene dos hijos (su menor divisor y su cociente) hasta obtener números primos en las hojas.

Definir las funciones

arbolDivisores      :: Int -> Arbol
hojasArbolDivisores :: Int -> [Int]

tales que

  • (arbolDivisores x) es el árbol binario de los divisores de x. Por ejemplo,
λ> arbolDivisores 90
N 90 (H 2) (N 45 (H 3) (N 15 (H 3) (H 5)))
λ> arbolDivisores 24
N 24 (H 2) (N 12 (H 2) (N 6 (H 2) (H 3)))
λ> arbolDivisores 300
N 300 (H 2) (N 150 (H 2) (N 75 (H 3) (N 25 (H 5) (H 5))))
  • (hojasArbolDivisores x) es la lista de las hohas del árbol binario de los divisores de x. Por ejemplo
hojasArbolDivisores 90   ==  [2,3,3,5]
hojasArbolDivisores 24   ==  [2,2,2,3]
hojasArbolDivisores 300  ==  [2,2,3,5,5]

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Intersección de listas infinitas crecientes

Misceláneas

Definir la función

interseccion :: Ord a => [[a]] -> [a]

tal que (interseccion xss) es la intersección de la lista no vacía de listas infinitas crecientes xss; es decir, la lista de los elementos que pertenecen a todas las listas de xss. Por ejemplo,

λ> take 10 (interseccion [[2,4..],[3,6..],[5,10..]])
[30,60,90,120,150,180,210,240,270,300]
λ> take 10 (interseccion [[2,5..],[3,5..],[5,7..]])
[5,11,17,23,29,35,41,47,53,59]

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Cálculo de pi usando la fórmula de Vieta

Misceláneas

La fórmula de Vieta para el cálculo de pi es la siguiente

fórmula de Vieta

Definir las funciones

aproximacionPi :: Int -> Double
errorPi :: Double -> Int

tales que

  • (aproximacionPi n) es la aproximación de pi usando n factores de la fórmula de Vieta. Por ejemplo,
aproximacionPi  5  ==  3.140331156954753
aproximacionPi 10  ==  3.1415914215112
aproximacionPi 15  ==  3.141592652386592
aproximacionPi 20  ==  3.1415926535886207
aproximacionPi 25  ==  3.141592653589795
  • (errorPi x) es el menor número de factores de la fórmula de Vieta necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,
errorPi 0.1        ==  2
errorPi 0.01       ==  4
errorPi 0.001      ==  6
errorPi 0.0001     ==  7
errorPi 1e-4       ==  7
errorPi 1e-14      ==  24
pi                 ==  3.141592653589793
aproximacionPi 24  ==  3.1415926535897913

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Pares definidos por su MCD y su MCM

Misceláneas

Definir las siguientes funciones

pares  :: Integer -> Integer -> [(Integer,Integer)]
nPares :: Integer -> Integer -> Integer

tales que

  • (pares a b) es la lista de los pares de números enteros positivos tales que su máximo común divisor es a y su mínimo común múltiplo es b. Por ejemplo,
pares 3 3  == [(3,3)]
pares 4 12 == [(4,12),(12,4)]
pares 2 12 == [(2,12),(4,6),(6,4),(12,2)]
pares 2 60 == [(2,60),(4,30),(6,20),(10,12),(12,10),(20,6),(30,4),(60,2)]
pares 2 7  == []
pares 12 3  ==  []
length (pares 3 (product [3,5..91]))  ==  8388608
  • (nPares a b) es el número de pares de enteros positivos tales que su máximo común divisor es a y su mínimo común múltiplo es b. Por ejemplo,
nPares 3 3   ==  1
nPares 4 12  ==  2
nPares 2 12  ==  4
nPares 2 60  ==  8
nPares 2 7   ==  0
nPares 12 3  ==  0
nPares 3 (product [3..3*10^4]) `mod` (10^12)  ==  477999992832
length (show (nPares 3 (product [3..3*10^4])))  ==  977

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Evaluación de árboles de expresiones aritméticas

Misceláneas

Las expresiones aritméticas se pueden representar como árboles con números en las hojas y operaciones en los nodos. Por ejemplo, la expresión "9-2*4" se puede representar por el árbol

  -
 / \
9   *
   / \
  2   4

Definiendo el tipo de dato Arbol por

data Arbol = H Int | N (Int -> Int -> Int) Arbol Arbol

la representación del árbol anterior es

N (-) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4))

Definir la función

valor :: Arbol -> Int

tal que (valor a) es el valor de la expresión aritmética correspondiente al árbol a. Por ejemplo,

valor (N (-) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4)))    ==  1
valor (N (+) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4)))    ==  17
valor (N (+) (H 9) (N (div) (H 4) (H 2)))  ==  11
valor (N (+) (H 9) (N (max) (H 4) (H 2)))  ==  13

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Mayor semiprimo menor que n

Misceláneas

Un número semiprimo es un número natural que es producto de dos números primos no necesariamente distintos. Por ejemplo, 26 es semiprimo (porque 26 = 2 x 13) y 49 también lo es (porque 49 = 7 x 7).

Definir la función

mayorSemiprimoMenor :: Integer -> Integer

tal que (mayorSemiprimoMenor n) es el mayor semiprimo menor que n (suponiendo que n > 4). Por ejemplo,

mayorSemiprimoMenor 27      ==  26
mayorSemiprimoMenor 50      ==  49
mayorSemiprimoMenor 49      ==  46
mayorSemiprimoMenor (10^6)  ==  999997

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Aproximación del número pi

Misceláneas

Una forma de aproximar el número π es usando la siguiente igualdad:

 π         1     1*2     1*2*3     1*2*3*4
--- = 1 + --- + ----- + ------- + --------- + ....
 2         3     3*5     3*5*7     3*5*7*9

Es decir, la serie cuyo término general n-ésimo es el cociente entre el producto de los primeros n números y los primeros n números impares:

            Π i
s(n) =  -----------
         Π (2*i+1)

Definir la función

aproximaPi :: Double -> Double

tal que (aproximaPi n) es la aproximación del número π calculada con la serie anterior hasta el término n-ésimo. Por ejemplo,

aproximaPi 10   ==  3.141106021601377
aproximaPi 30   ==  3.1415926533011587
aproximaPi 50   ==  3.1415926535897922

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Primos o cuadrados de primos

Misceláneas

Definir la constante

primosOcuadradosDePrimos :: [Integer]

cuyos elementos son los número primos o cuadrados de primos. Por ejemplo,

λ> take 20 primosOcuadradosDePrimos
[2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,29,31,37,41,43,47,49,53]

Comprobar con QuickCheck que las lista primosOcuadradosDePrimos y unifactorizables (definida en el ejercicio anterior) son iguales.

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