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Sublistas con producto dado

Misceláneas

Definir las funciones

sublistasConProducto :: Integer -> [Integer] -> [[Integer]]
unifactorizables :: [Integer]

tales que

  • (sublistasConProducto n xs) es la lista de las sublistas de la lista ordenada estrictamente creciente xs (cuyos elementos son enteros mayores que 1) cuyo producto es el número entero n (con n mayor que 1). Por ejemplo,
λ> sublistasConProducto 72 [2,3,4,5,6,7,9,10,16]
[[2,4,9],[3,4,6]]
λ> sublistasConProducto 720 [2,3,4,5,6,7,9,10,16]
[[2,3,4,5,6],[2,4,9,10],[3,4,6,10],[5,9,16]]
λ> sublistasConProducto 2 [4,7]
[]
λ> length (sublistasConProducto 1234567 [1..1234567])
4
  • unifactorizables es la lísta de los números enteros mayores que 1 que se pueden escribir sólo de una forma única como producto de enteros distintos mayores que uno. Por ejemplo,
λ> take 20 unifactorizables
[2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,29,31,37,41,43,47,49,53]
λ> unifactorizables !! 300
1873

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Transformaciones lineales de números triangulares

Misceláneas

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 8 primeros números triangulares son

 1 = 1
 3 = 1+2
 6 = 1+2+3
10 = 1+2+3+4
15 = 1+2+3+4+5
21 = 1+2+3+4+5+6
28 = 1+2+3+4+5+6+7
36 = 1+2+3+4+5+6+7+8

Para cada número triangular n existen números naturales a y b, tales que a . n + b también es triangular. Para n = 6, se tiene que

 6 = 1 * 6 + 0
15 = 2 * 6 + 3
21 = 3 * 6 + 3
28 = 4 * 6 + 4
36 = 5 * 6 + 5

son números triangulares

Definir la función

transformaciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que si n es triangular, (transformaciones n) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un entero positivo y b el menor número tal que a . n + b es triangular. Por ejemplo,

take 5 (transformaciones 6)  == [(1,0),(2,3),(3,3),(4,4),(5,6)]
take 5 (transformaciones 15) == [(1,0),(2,6),(3,10),(4,6),(5,3)]
transformaciones 21 !! (7*10^7) == (70000001,39732)

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Múltiplos con ceros y unos

Misceláneas

Se observa que todos los primeros números naturales tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado solamente por ceros y unos. Por ejemplo, 1x10=10, 2x5=10, 3x37=111, 4x25=100, 5x2=10, 6x185=1110; 7x143=1001; 8X125=1000; 9x12345679=111111111.

Definir la función

multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

tal que (multiplosCon1y0 n) es la lista de los múltiplos de n cuyos dígitos son 1 ó 0. Por ejemplo,

take 4 (multiplosCon1y0 3)      ==  [111,1011,1101,1110]
take 3 (multiplosCon1y0 23)     ==  [110101,1011011,1101010]
head (multiplosCon1y0 1234658)  ==  110101101101000000110

Comprobar con QuickCheck que todo entero positivo tiene algún múltiplo cuyos dígitos son 1 ó 0.

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Múltiplos palíndromos

Misceláneas

Los números 545, 5995 y 15151 son los tres menores palíndromos (capicúas) que son divisibles por 109.

Definir las funciones

multiplosPalindromos :: Integer -> [Integer]
multiplosPalindromosMenores :: Integer -> Integer -> [Integer]

tales que

  • (multiplosPalindromos n) es la lista de los palíndromos divisibles por n. Por ejemplo,
take 5 (multiplosPalindromos 109) == [545,5995,15151,64746,74447]
  • (multiplosPalindromosMenoresx n) es la lista de los palíndromos divisibles por n, menores que x. Por ejemplo,
λ> multiplosPalindromosMenores (10^5) 109
[545,5995,15151,64746,74447,79897,84148,89598,99299]

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 655 del Proyecto Euler.

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Mayor producto de n dígitos consecutivos de un número

Misceláneas

Definir la función

mayorProducto :: Int -> Integer -> Integer

tal que (mayorProducto n x) es el mayor producto de n dígitos consecutivos del número x (suponiendo que x tiene al menos n dígitos). Por ejemplo,

mayorProducto 2 325                  ==  10
mayorProducto 5 11111                ==  1
mayorProducto 5 113111               ==  3
mayorProducto 5 110111               ==  0
mayorProducto 5 10151112             ==  10
mayorProducto 5 101511124            ==  10
mayorProducto 5 (product [1..1000])  ==  41472

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 8 del Proyecto Euler

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Menor número triangular con más de n divisores

Misceláneas

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales.

*     *      *        *         *
     * *    * *      * *       * *
           * * *    * * *     * * *
                   * * * *   * * * *
                            * * * * *
1     3      6        10        15

Así, el 7º número triangular es

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.

Los primeros 10 números triangulares son

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Los divisores de los primeros 7 números triangulares son:

 1: 1
 3: 1,3
 6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

Como se puede observar, 28 es el menor número triangular con más de 5 divisores.

Definir la función

menorTriangularConAlMenosNDivisores :: Int -> Integer

tal que (menorTriangularConAlMenosNDivisores n) es el menor número triangular que tiene al menos n divisores. Por ejemplo,

menorTriangularConAlMenosNDivisores 5    ==  28
menorTriangularConAlMenosNDivisores 50   ==  25200
menorTriangularConAlMenosNDivisores 500  ==  76576500

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 12 del Proyecto Euler

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Mayor divisor primo

Misceláneas

Los divisores primos de 13195 son 5, 7, 13 y 29. Por tanto, el mayor divisor primo de 13195 es 29.

Definir la función

mayorDivisorPrimo :: Integer -> Integer

tal que (mayorDivisorPrimo n) es el mayor divisor primo de n. Por ejemplo,

mayorDivisorPrimo 13195            ==  29
mayorDivisorPrimo 152416333181401  ==  12345701

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 3 del Proyecto Euler

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Números triangulares

Misceláneas

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales.

*     *      *        *         *
     * *    * *      * *       * *
           * * *    * * *     * * *
                   * * * *   * * * *
                            * * * * *
1     3      6        10        15

Así, los 5 primeros números triangulares son

 1 = 1
 3 = 1+2
 6 = 1+2+3
10 = 1+2+3+4
15 = 1+2+3+4+5

Definir la función

triangulares :: [Integer]

tal que triangulares es la lista de los números triangulares. Por ejemplo,

take 10 triangulares  ==  [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55]
maximum (take (5*10^6) triangulares4)  ==  12500002500000

Comprobar con QuickCheck que entre dos números triangulares consecutivos siempre hay un número primo.

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Suma de divisores

Misceláneas

Definir la función

sumaDivisores :: Integer -> Integer

tal que (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,

sumaDivisores 12  ==  28
sumaDivisores 25  ==  31
sumaDivisores (product [1..25])  ==  93383273455325195473152000
length (show (sumaDivisores (product [1..30000])))  ==  121289
maximum (map sumaDivisores2 [1..10^5])  ==  403200

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