Partiendo de los 5 primeros números primos y calculando el valor absoluto de la diferencia de cada dos números consecutivos hasta quedarse con un único número se obtiene la siguiente tabla:

2, 3, 5, 7, 11
1, 2, 2, 4
1, 0, 2
1, 2
1

Se observa que todas las filas, salvo la inicial, comienzan con el número 1.

Repitiendo el proceso pero empezando con los 8 primeros números primos se obtiene la siguiente tabla:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
1, 2, 2, 4,  2,  4,  2
1, 0, 2, 2,  2,  2
1, 2, 0, 0,  0
1, 2, 0, 0
1, 2, 0
1, 2
1

Se observa que, de nuevo, todas las filas, salvo la inicial, comienza con el número 1.

La conjetura de Gilbreath afirma que si escribimos la sucesión de números primos completa y después construimos las correspondientes sucesiones formadas por el valor absoluto de la resta de cada pareja de números consecutivos, entonces todas esas filas que obtenemos comienzan siempre por 1.

El objetivo de este ejercicio es comprobar experimentalmente dicha conjetura.

Para la representación, usaremos la simétrica de la que hemos comentado anteriormente; es decir,

 2
 3, 1
 5, 2, 1
 7, 2, 0, 1
11, 4, 2, 2, 1
13, 2, 2, 0, 2, 1
17, 4, 2, 0, 0, 2, 1
19, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 1

en la que la primera columna son los números primos y el elemento de la fila i y columna j (con i, j > 1) es el valor absoluto de la diferencia de los elementos (i,j-1) e (i-1,j-1).

Definir las siguientes funciones

siguiente           :: Integer -> [Integer] -> [Integer]
triangulo           :: [[Integer]]
conjetura_Gilbreath :: Int -> Bool

tales que

• (siguiente x ys) es la línea siguiente de la ys que empieza por x en la tabla de Gilbreath; es decir, si ys es [y1,y2,...,yn], entonces (siguiente x ys) es [x,|y1-x|,|y2-|y1-x||,...] Por ejemplo,

siguiente  7 [5,2,1]               ==  [7,2,0,1]
siguiente 29 [23,4,2,0,0,0,0,2,1]  ==  [29,6,2,0,0,0,0,0,2,1]

• triangulo es el triángulo de Gilbreath. Por ejemplo,

λ> take 10 triangulo
[[ 2],
[ 3,1],
[ 5,2,1],
[ 7,2,0,1],
[11,4,2,2,1],
[13,2,2,0,2,1],
[17,4,2,0,0,2,1],
[19,2,2,0,0,0,2,1],
[23,4,2,0,0,0,0,2,1],
[29,6,2,0,0,0,0,0,2,1]]

• (conjeturaGilbreath n) se verifica si se cumple la conjetura de Gilbreath para los n primeros números primos; es decir, en el triángulo de Gilbreath cuya primera columna son los n primeros números primos, todas las filas a partir de la segunda terminan en 1. Por ejemplo,

λ> conjeturaGilbreath 1000
True

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La suma de las sumas de los cuadrados de los divisores de los 6 primeros números enteros positivos es

  1² + (1²+2²) + (1²+3²) + (1²+2²+4²) + (1²+5²) + (1²+2²+3²+6²)
= 1  + 5       + 10      + 21         + 26      + 50
= 113

Definir la función

sumaSumasCuadradosDivisores :: Integer -> Integer

tal que (sumaSumasCuadradosDivisores n) es la suma de las sumas de los cuadrados de los divisores de los n primeros números enteros positivos. Por ejemplo,

sumaSumasCuadradosDivisores 6       ==  113
sumaSumasCuadradosDivisores (10^6)  ==  400686363385965077

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Dados dos números naturales n y x, su suma reducida se obtiene a partir del número obtenido repitiendo n veces el x sumando sus dígitos hasta obtener un número con sólo un dígito. Por ejemplo, si n es 3 y x es 24 las transformaciones son

242424 ==> 18 ==> 9

Análogamente, si n es 4 y x es 7988 las transformaciones son

7988798879887988 ==> 128 ==> 11 ==> 2

Definir las funciones

sumaReducidaDigitosRepeticiones :: Integer -> Integer -> Integer
grafica                         :: Integer -> IO ()

tales que

• (sumaReducidaDigitosRepeticiones n x) es la suma reducida de n repeticiones de x. Por ejemplo

sumaReducidaDigitosRepeticiones 3 24                    ==  9
sumaReducidaDigitosRepeticiones 4 7988                  == 2
sumaReducidaDigitosRepeticiones (12^(10^7)) (12^(10^7)) == 9

• (grafica n) dibuja la gráfica de los n primeros elementos de la sucesión cuyo elementos k-ésimo es (sumaReducidaDigitosRepeticiones k k). Por ejemplo, (grafica 50) dibuja

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Definir la función

cruce :: Eq a => [a] -> [a] -> [[a]]

tal que (cruce xs ys) es la lista de las listas obtenidas uniendo las listas de xs sin un elemento con las de ys sin un elemento. Por ejemplo,

λ> cruce [1,5,3] [2,4]
[[5,3,4],[5,3,2],[1,3,4],[1,3,2],[1,5,4],[1,5,2]]
λ> cruce [1,5,3] [2,4,6]
[[5,3,4,6],[5,3,2,6],[5,3,2,4],[1,3,4,6],[1,3,2,6],
[1,3,2,4],[1,5,4,6],[1,5,2,6],[1,5,2,4]]

Comprobar con QuickCheck que el número de elementos de (cruce xs ys) es el producto de los números de elementos de xs y de ys.

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Una matriz centro simétrica es una matriz cuadrada que es simétrica respecto de su centro. Por ejemplo, de las siguientes matrices, las dos primeras son simétricas y las otras no lo son

(1 2)   (1 2 3)   (1 2 3)   (1 2 3)
(2 1)   (4 5 4)   (4 5 4)   (4 5 4)
        (3 2 1)   (3 2 2)

Definir la función

esCentroSimetrica :: Eq t => Array (Int,Int) t -> Bool

tal que (esCentroSimetrica a) se verifica si la matriz a es centro simétrica. Por ejemplo,

λ> esCentroSimetrica (listArray ((1,1),(2,2)) [1,2, 2,1])
True
λ> esCentroSimetrica (listArray ((1,1),(3,3)) [1,2,3, 4,5,4, 3,2,1])
True
λ> esCentroSimetrica (listArray ((1,1),(3,3)) [1,2,3, 4,5,4, 3,2,2])
False
λ> esCentroSimetrica (listArray ((1,1),(2,3)) [1,2,3, 4,5,4])
False

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Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

data Arbol a = N a [Arbol a]
               deriving Show

Por ejemplo, los árboles

  1               3
 / \             /|\
2   3           / | \
    |          5  4  7
    4          |    /|\
               6   2 8 6

se representan por

ej1, ej2 :: Arbol Int
ej1 = N 1 [N 2 [], N 3 [N 4 []]]
ej2 = N 3 [N 5 [N 6 []],
           N 4 [],
           N 7 [N 2 [], N 8 [], N 6 []]]

Definir la función

nodosSumaMaxima :: (Num t, Ord t) => Arbol t -> [t]

tal que (nodosSumaMaxima a) es la lista de los nodos del árbol a cuyos hijos tienen máxima suma. Por ejemplo,

nodosSumaMaxima ej1  ==  [1]
nodosSumaMaxima ej2  ==  [7,3]

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Hay 3 números (el 2, 3 y 4) cuyos factoriales son divisibles por 2 pero no por 5. Análogamente, hay números 5 (el 5, 6, 7, 8, 9) cuyos factoriales son divisibles por 15 pero no por 25.

Definir la función

nNumerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> Integer

tal que (nNumerosConFactorialesDivisibles x y) es la cantidad de números cuyo factorial es divisible por x pero no por y. Por ejemplo,

nNumerosConFactorialesDivisibles 2  5       ==  3
nNumerosConFactorialesDivisibles 15 25      ==  5
nNumerosConFactorialesDivisibles2 100 2000  ==  5

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La función de Smarandache, también conocida como la función de Kempner, es la función que asigna a cada número entero positivo n el menor número cuyo factorial es divisible por n y se representa por S(n). Por ejemplo, el número 8 no divide a 1!, 2!, 3!, pero sí divide 4!; por tanto, S(8) = 4.

Definir las funciones

smarandache        :: Integer -> Integer
graficaSmarandache :: Integer -> IO ()

tales que

• (smarandache n) es el menor número cuyo factorial es divisible por n. Por ejemplo,

smarandache 8   ==  4
smarandache 10  ==  5
smarandache 16  ==  6

• (graficaSmarandache n) dibuja la gráfica de los n primeros términos de la sucesión de Smarandache. Por ejemplo, (graficaSmarandache 100) dibuja

(graficaSmarandache 500) dibuja

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Definir la función

geometrica :: Int -> Int -> Int -> [Int]

tal que (geometrica a b c) es la lista de los términos de la progresión geométrica cuyo primer término es a, su segundo término es b (que se supone que es múltiplo de a) y los términos son menores o iguales que c. Por ejemplo,

geometrica 1 3  27   ==  [1,3,9,27]
geometrica 2 6  100  ==  [2,6,18,54]
geometrica 3 12 57   ==  [3,12,48]
geometrica 4 20 253  ==  [4,20,100]
geometrica 5 25 625  ==  [5,25,125,625]
geometrica 6 42 42   ==  [6,42]

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Los números del 1 al 3 se pueden escribir de dos formas, con el signo más o menos entre ellos, tales que su suma sea 0:

 1+2-3 = 0
-1-2+3 = 0

Definir la función

ceros :: Int -> [[Int]]

tal que (ceros n) son las posibles formas de obtener cero sumando los números del 1 al n, con el signo más o menos entre ellos. Por ejemplo,

ceros 3           ==  [[1,2,-3],[-1,-2,3]]
ceros 4           ==  [[1,-2,-3,4],[-1,2,3,-4]]
ceros 5           ==  []
length (ceros 7)  ==  8
take 3 (ceros 7)  ==  [[1,2,-3,4,-5,-6,7],[1,2,-3,-4,5,6,-7],[1,-2,3,4,-5,6,-7]]

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