Demostrar con Lean4 que la composición de dos funciones monótonas es monótona.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f g : ℝ → ℝ) example (mf : Monotone f) (mg : Monotone g) : Monotone (f ∘ g) := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(c\) es no negativo y \(f\) es monótona, entonces \(cf\) es monótona.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f : ℝ → ℝ) variable {c : ℝ} example (mf : Monotone f) (nnc : 0 ≤ c) : Monotone (fun x ↦ c * f x) := by sorry
Demostrar con Lean4 que la suma de dos funciones monótonas es monótona.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f g : ℝ → ℝ) example (mf : Monotone f) (mg : Monotone g) : Monotone (f + g) := by sorry
Sean \(f\) y \(g\) funciones de \(ℝ\) en \(ℝ\). Demostrar con Lean4 que si \(a\) es una cota superior no negativa de \(f\) y \(b\) es es una cota superior de la función no negativa \(g\), entonces \(ab\) es una cota superior de \(fg\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic -- (CotaSuperior f a) se verifica si a es una cota superior de f. def CotaSuperior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop := ∀ x, f x ≤ a -- (CotaInferior f a) expresa que a es una cota inferior de f. def CotaInferior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop := ∀ x, a ≤ f x variable (f g : ℝ → ℝ) variable (a b : ℝ) example (hfa : CotaSuperior f a) (hgb : CotaSuperior g b) (nng : CotaInferior g 0) (nna : 0 ≤ a) : CotaSuperior (f * g) (a * b) := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(f\) y \(g\) son funciones no negativas de \(ℝ\) en \(ℝ\), entonces su producto es no negativo.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic -- (CotaInferior f a) expresa que a es una cota inferior de f. def CotaInferior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop := ∀ x, a ≤ f x variable (f g : ℝ → ℝ) example (nnf : CotaInferior f 0) (nng : CotaInferior g 0) : CotaInferior (f * g) 0 := by sorry
Demostrar con Lean4 que si (f) y (g) son funciones de (ℝ) en (ℝ), entonces la suma de una cota inferior de (f) y una cota inferior de (g) es una cota inferior de (f+g).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic -- (CotaInferior f a) expresa que a es una cota inferior de f. def CotaInferior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop := ∀ x, a ≤ f x variable (f g : ℝ → ℝ) variable (a b : ℝ) example (hfa : CotaInferior f a) (hgb : CotaInferior g b) : CotaInferior (f + g) (a + b) := by sorry
Demostrar con Lean4 que si (f) y (g) son funciones de (ℝ) en (ℝ), entonces la suma de una cota superior de (f) y una cota superior de (g) es una cota superior de (f+g).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic -- (CotaSuperior f a) se verifica si a es una cota superior de f. def CotaSuperior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop := ∀ x, f x ≤ a variable (f g : ℝ → ℝ) variable (a b : ℝ) example (hfa : CotaSuperior f a) (hgb : CotaSuperior g b) : CotaSuperior (f + g) (a + b) := by sorry
Demostrar con Lean4 que en ℝ \[ \{0 < ε, ε ≤ 1, |x| < ε, |y| < ε\} ⊢ |xy| < ε \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic example : ∀ {x y ε : ℝ}, 0 < ε → ε ≤ 1 → |x| < ε → |y| < ε → |x * y| < ε := by sorry
Demostrar con Lean4 que en los espacios métricos, \(d(x,y) ≥ 0\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Topology.MetricSpace.Basic variable {X : Type _} [MetricSpace X] variable (x y : X) example : 0 ≤ d x y := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(a\) y \(b\) números reales, entonces \[|a| - |b| \leq |a - b|\]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (a b : ℝ) example : |a| - |b| ≤ |a - b| := by sorry