Demostrar con Lean4 la paradoja del barbero; es decir, que no existe un hombre que afeite a todos los que no se afeitan a sí mismo y sólo a los que no se afeitan a sí mismo.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable (Hombre : Type)
variable (afeita : Hombre → Hombre → Prop)

example :
  ¬(∃ x : Hombre, ∀ y : Hombre, afeita x y ↔ ¬ afeita y y) :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que \[ (P → Q) ↔ ¬P ∨ Q \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable (P Q : Prop)

example
  : (P → Q) ↔ ¬P ∨ Q :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que \[ ¬¬P → P \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable (P : Prop)

example : ¬¬P → P :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que \(P → ¬¬P\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable (P : Prop)

example
  (h : P)
  : ¬¬P :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que \(¬¬P → P\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable (P : Prop)

example
  (h : ¬¬P)
  : P :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \((∃x)¬P(x)\), entonces \(¬(∀x)P(x)\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable {α : Type _}
variable (P : α → Prop)

example
  (h : ∃ x, ¬ P x)
  : ¬ ∀ x, P x :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(¬(∀x)P(x)\), entonces \((∃x)¬P(x)\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable {α : Type _}
variable (P : α → Prop)

example
  (h : ¬ ∀ x, P x)
  : ∃ x, ¬ P x :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \((∀x)¬P(x)\), entonces \(¬(∃x)P(x)\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable {α : Type _}
variable (P : α → Prop)

example
  (h : ∀ x, ¬ P x)
  : ¬ ∃ x, P x :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \(¬(∃x)P(x)\), entonces \((∀x)¬P(x)\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {α : Type _}
variable (P : α → Prop)

example
  (h : ¬ ∃ x, P x)
  : ∀ x, ¬ P x :=
by sorry

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Demostrar con Lean4 que si \((∀ε > 0)[x ≤ ε]\), entonces \(x ≤ 0\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (x : ℝ)

example
  (h : ∀ ε > 0, x ≤ ε)
  : x ≤ 0 :=
by sorry

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