Demostrar con Lean4 que en \(ℝ\), \(y > x^2 ⊢ y > 0 ∨ y < -1\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic variable {x y : ℝ} example (h : y > x^2) : y > 0 ∨ y < -1 := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(≤\) es un preorden, entonces \(<\) es transitiva.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic variable {α : Type _} [Preorder α] variable (a b c : α) example : a < b → b < c → a < c := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(≤\) es un preorden, entonces \(<\) es irreflexiva.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic variable {α : Type _} [Preorder α] variable (a : α) example : ¬a < a := by sorry
Demostrar con Lean4 que en los órdenes parciales, \[a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b\]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic variable {α : Type _} [PartialOrder α] variable (a b : α) example : a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b := by sorry
Demostrar con Lean4 que la función \(x ↦ -x\) no es monótona creciente.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic example : ¬Monotone fun x : ℝ ↦ -x := by sorry
Demostrar con Lean4 que \(f: ℝ → ℝ\) no es monótona syss \((∃x,y)[x ≤ y ∧ f(x) > f(y)]\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable {f : ℝ → ℝ} example : ¬Monotone f ↔ ∃ x y, x ≤ y ∧ f x > f y := sorry
Demostrar con Lean4 que 3 divide al máximo común divisor de 6 y 15.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic open Nat example : 3 ∣ gcd 6 15 := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(|x + 3| < 5\), entonces \(-8 < x < 2\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (x y : ℝ) example : |x + 3| < 5 → -8 < x ∧ x < 2 := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(x, y ∈ ℝ\), entonces \[ x^2 + y^2 = 0 ↔ x = 0 ∧ y = 0 \]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic import Mathlib.Tactic variable {x y : ℝ} example : x^2 + y^2 = 0 ↔ x = 0 ∧ y = 0 := by sorry
Demostrar con Lean4 que si \(x\) e \(y\) son números reales tales que \(x ≤ y\), entonces \(y ≰ x ↔ x ≠ y\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable {x y : ℝ} example (h : x ≤ y) : ¬y ≤ x ↔ x ≠ y := by sorry